Номер 5, страница 251 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 5, страница 251.

5 Какой из одночленов нужно вписать вместо многоточия в многочлен $x^2y - 2xy^2 - 6x \ldots$, чтобы его можно было разложить на множители способом группировки?

1) $+12y$

2) $+6y$

3) $-2y$

4) $-12y$

Для того чтобы многочлен можно было разложить на множители способом группировки, необходимо, чтобы после вынесения общего множителя из каждой группы слагаемых в скобках оставались одинаковые выражения. Проверим каждый из предложенных вариантов, подставляя его вместо многоточия в исходный многочлен $x^2y - 2xy^2 - 6x ...$

1) +12y

Подставим одночлен $+12y$. Получим многочлен: $x^2y - 2xy^2 - 6x + 12y$.
Сгруппируем слагаемые. Возможны несколько вариантов группировки, проверим один из них: сгруппируем первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым.
$(x^2y - 2xy^2) + (-6x + 12y)$
Вынесем общие множители за скобки в каждой группе:
$xy(x - 2y) - 6(x - 2y)$
Мы видим, что в обеих группах появился общий множитель $(x - 2y)$. Вынесем его за скобки:
$(x - 2y)(xy - 6)$
Многочлен успешно разложен на множители. Следовательно, этот вариант является правильным. Для полноты картины можно проверить и другую группировку: первое с третьим и второе с четвертым.
$(x^2y - 6x) + (-2xy^2 + 12y) = x(xy - 6) - 2y(xy - 6) = (x - 2y)(xy - 6)$.
Результат тот же.

2) +6y

Подставим одночлен $+6y$. Получим многочлен: $x^2y - 2xy^2 - 6x + 6y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2y - 2xy^2) + (-6x + 6y)$.
Вынесем общие множители: $xy(x - 2y) - 6(x - y)$.
Выражения в скобках $(x - 2y)$ и $(x - y)$ не совпадают, поэтому разложить на множители этим способом не получается. Другие способы группировки также не приводят к успеху.

3) -2y

Подставим одночлен $-2y$. Получим многочлен: $x^2y - 2xy^2 - 6x - 2y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2y - 2xy^2) + (-6x - 2y)$.
Вынесем общие множители: $xy(x - 2y) - 2(3x + y)$.
Выражения в скобках не совпадают. Разложение на множители невозможно.

4) -12y

Подставим одночлен $-12y$. Получим многочлен: $x^2y - 2xy^2 - 6x - 12y$.
Сгруппируем слагаемые: $(x^2y - 2xy^2) + (-6x - 12y)$.
Вынесем общие множители: $xy(x - 2y) - 6(x + 2y)$.
Выражения в скобках $(x - 2y)$ и $(x + 2y)$ не совпадают. Разложение на множители невозможно.

Таким образом, единственный одночлен, который позволяет разложить данный многочлен на множители способом группировки, — это $+12y$.

Ответ: 1) +12y