Страница 243 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

897 Разложите выражение на множители двумя способами:

1) применив формулу разности квадратов;

2) раскрыв скобки и затем применив группировку:

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$;

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$.

а) $(1 + ab)^2 - (a + b)^2$

1) Применив формулу разности квадратов:

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = 1 + ab$ и $y = a + b$.

$(1 + ab)^2 - (a + b)^2 = ((1 + ab) - (a + b))((1 + ab) + (a + b))$

Раскроем внутренние скобки:

$= (1 + ab - a - b)(1 + ab + a + b)$

Теперь сгруппируем слагаемые в каждой из полученных скобок и вынесем общие множители за скобки.

В первой скобке: $1 + ab - a - b = (1 - a) - (b - ab) = (1 - a) - b(1 - a) = (1 - a)(1 - b)$.

Во второй скобке: $1 + ab + a + b = (1 + a) + (b + ab) = (1 + a) + b(1 + a) = (1 + a)(1 + b)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(1 - a)(1 - b)(1 + a)(1 + b)$

2) Раскрыв скобки и затем применив группировку:

Сначала раскроем каждый квадрат суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(1 + ab)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot ab + (ab)^2 = 1 + 2ab + a^2b^2$

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Теперь вычтем второе выражение из первого:

$(1 + 2ab + a^2b^2) - (a^2 + 2ab + b^2) = 1 + 2ab + a^2b^2 - a^2 - 2ab - b^2$

Сократим подобные члены ($2ab$ и $-2ab$):

$= 1 + a^2b^2 - a^2 - b^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

$= (1 - a^2) + (a^2b^2 - b^2) = (1 - a^2) - (b^2 - a^2b^2) = (1 - a^2) - b^2(1 - a^2) = (1 - a^2)(1 - b^2)$

Каждый из множителей также является разностью квадратов, разложим их:

$= (1 - a)(1 + a)(1 - b)(1 + b)$

Ответ: $(1 - a)(1 + a)(1 - b)(1 + b)$

б) $(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2$

1) Применив формулу разности квадратов:

Используем формулу $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x = a + 2x$ и $y = 2 + ax$.

$(a + 2x)^2 - (2 + ax)^2 = ((a + 2x) - (2 + ax))((a + 2x) + (2 + ax))$

Раскроем внутренние скобки:

$= (a + 2x - 2 - ax)(a + 2x + 2 + ax)$

Сгруппируем слагаемые в каждой из полученных скобок.

В первой скобке: $a + 2x - 2 - ax = (a - ax) + (2x - 2) = a(1 - x) - 2(1 - x) = (a - 2)(1 - x)$.

Во второй скобке: $a + 2x + 2 + ax = (a + ax) + (2 + 2x) = a(1 + x) + 2(1 + x) = (a + 2)(1 + x)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(a - 2)(1 - x)(a + 2)(1 + x)$

2) Раскрыв скобки и затем применив группировку:

Раскроем каждый квадрат суммы:

$(a + 2x)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 2x + (2x)^2 = a^2 + 4ax + 4x^2$

$(2 + ax)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot ax + (ax)^2 = 4 + 4ax + a^2x^2$

Вычтем второе выражение из первого:

$(a^2 + 4ax + 4x^2) - (4 + 4ax + a^2x^2) = a^2 + 4ax + 4x^2 - 4 - 4ax - a^2x^2$

Сократим подобные члены ($4ax$ и $-4ax$):

$= a^2 + 4x^2 - 4 - a^2x^2$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общий множитель:

$= (a^2 - a^2x^2) - (4 - 4x^2) = a^2(1 - x^2) - 4(1 - x^2) = (a^2 - 4)(1 - x^2)$

Разложим каждый из множителей как разность квадратов:

$= (a - 2)(a + 2)(1 - x)(1 + x)$

Ответ: $(a - 2)(a + 2)(1 - x)(1 + x)$

898 ДОКАЗЫВАЕМ

Докажите, что разность между кубом любого натурального числа и этим числом делится на 6.

Пусть $n$ — любое натуральное число. Необходимо доказать, что разность между его кубом и самим числом, то есть выражение $n^3 - n$, делится на 6.

1. Преобразование выражения

Разложим выражение $n^3 - n$ на множители. Сначала вынесем общий множитель $n$ за скобки:

$n^3 - n = n(n^2 - 1)$

Далее, применим к выражению в скобках формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$n(n^2 - 1) = n(n-1)(n+1)$

Если расположить множители в порядке возрастания, получим произведение трех последовательных целых чисел:

$(n-1)n(n+1)$

2. Доказательство делимости

Чтобы доказать, что число делится на 6, необходимо и достаточно доказать, что оно делится на 2 и на 3, так как $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 — взаимно простые.

Делимость на 2.

Среди двух последовательных чисел одно всегда является четным. В произведении трех последовательных чисел $(n-1)n(n+1)$ обязательно есть как минимум одно четное число (либо $n$, либо $n-1$ и $n+1$). Следовательно, произведение $(n-1)n(n+1)$ всегда делится на 2.

Делимость на 3.

Среди любых трех последовательных чисел ровно одно делится на 3. В нашем произведении $(n-1)n(n+1)$ один из множителей обязательно будет кратен 3. Следовательно, все произведение делится на 3.

3. Заключение

Поскольку выражение $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ делится и на 2, и на 3, оно также делится на их произведение, то есть на 6. Утверждение доказано.

Ответ: Разность между кубом любого натурального числа и этим числом равна $n^3 - n$. Это выражение можно разложить на множители: $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$. Это произведение трех последовательных натуральных чисел. Среди трех последовательных чисел всегда есть хотя бы одно четное число (т.е. кратное 2) и ровно одно число, кратное 3. Так как 2 и 3 взаимно просты, то их произведение делится на $2 \cdot 3 = 6$. Что и требовалось доказать.

899 ИССЛЕДУЕМ

1) Докажите, что:

а) $\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)(x^8 + y^8)$;

б) $\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = (x + y)(x^2 + y^2) \dots (x^{32} + y^{32})$.

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x - y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}$?

3) Сократите дробь $\frac{x^{210} - y^{210}}{x - y}$.

1) Докажите, что:

а)

Чтобы доказать тождество $\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$, мы преобразуем числитель дроби в левой части. Для этого будем последовательно применять формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$:

$x^{16} - y^{16} = (x^8)^2 - (y^8)^2 = (x^8 - y^8)(x^8 + y^8)$

Продолжим разложение множителя $(x^8 - y^8)$:

$x^8 - y^8 = (x^4)^2 - (y^4)^2 = (x^4 - y^4)(x^4 + y^4)$

Далее разложим $(x^4 - y^4)$:

$x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$

И, наконец, $(x^2 - y^2)$:

$x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$

Теперь, собрав все множители вместе, мы получаем полное разложение исходного числителя:

$x^{16} - y^{16} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$

Подставим это выражение обратно в левую часть тождества:

$\frac{x^{16} - y^{16}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)}{x-y}$

При условии, что $x \neq y$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x-y)$:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)$

Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходного тождества, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Доказательство тождества $\frac{x^{64} - y^{64}}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)...(x^{32}+y^{32})$ проводится аналогично предыдущему пункту. Разложим числитель $x^{64} - y^{64}$ на множители, многократно применяя формулу разности квадратов:

$x^{64} - y^{64} = (x^{32}-y^{32})(x^{32}+y^{32})$

Продолжая последовательно раскладывать первый множитель в каждом произведении, мы получим:

$x^{64} - y^{64} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)(x^8+y^8)(x^{16}+y^{16})(x^{32}+y^{32})$

Многоточие в правой части исходного равенства как раз и подразумевает все недостающие множители с показателями степени, являющимися степенями двойки от 1 до 4, то есть $(x^2+y^2), (x^4+y^4), (x^8+y^8), (x^{16}+y^{16})$.

Подставим полученное разложение в левую часть тождества:

$\frac{x^{64} - y^{64}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)...(x^{32}+y^{32})}{x-y}$

После сокращения на $(x-y)$ (при $x \neq y$), левая часть становится равной правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$? $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$?

Можно заметить общую закономерность: выражение вида $x^n - y^n$ всегда делится без остатка на $x-y$ для любого натурального числа $n$. Это следует из общей формулы разности n-ых степеней:

$a^n - b^n = (a-b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \dots + ab^{n-2} + b^{n-1})$

Задачи из пункта 1) являются частным случаем этой закономерности, когда показатель $n$ является степенью двойки ($n=2^k$). В этом случае разложение на множители получается особенно простым за счет многократного применения формулы разности квадратов.

Исходя из этого, обе предложенные дроби можно сократить.

Сокращение дроби $\frac{x^8 - y^8}{x-y}$:

Здесь показатель $8 = 2^3$, поэтому можно применить метод из пункта 1):

$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = \frac{(x^4-y^4)(x^4+y^4)}{x-y} = \frac{(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$

Сокращение дроби $\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y}$:

Здесь показатель $10$ не является степенью двойки. В этом случае мы применяем общую формулу разности степеней:

$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$

Ответ: Была замечена закономерность, что $x^n-y^n$ всегда делится на $x-y$. Да, обе дроби можно сократить.
$\frac{x^8 - y^8}{x-y} = (x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$.
$\frac{x^{10} - y^{10}}{x-y} = x^9 + x^8y + x^7y^2 + x^6y^3 + x^5y^4 + x^4y^5 + x^3y^6 + x^2y^7 + xy^8 + y^9$.

3) Сократите дробь $\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y}$

Эта задача является прямым применением закономерности, рассмотренной в пункте 1), для показателя степени $n = 2^{10}$.

Используя тот же метод разложения на множители через разность квадратов, мы можем представить числитель в виде:

$x^{2^{10}} - y^{2^{10}} = (x^{2^9} - y^{2^9})(x^{2^9} + y^{2^9})$

Продолжая этот процесс, мы в конечном итоге получим произведение, которое содержит множитель $(x-y)$:

$x^{2^{10}} - y^{2^{10}} = (x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})$

Теперь мы можем сократить исходную дробь:

$\frac{x^{2^{10}} - y^{2^{10}}}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})}{x-y}$

При $x \neq y$ это выражение равно:

$(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{2^9}+y^{2^9})$

Последний множитель в этом произведении равен $(x^{512}+y^{512})$, так как $2^9=512$.

Ответ: $(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)\cdot \dots \cdot (x^{512}+y^{512})$.