Страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

876 РАССУЖДАЕМ

Составьте выражения, которые можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов или разности кубов, и выполните эти преобразования.

Задача состоит в том, чтобы составить выражения, которые являются суммой или разностью кубов, и затем разложить их на множители. Для этого используются следующие формулы сокращенного умножения:

Формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$

Формула разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$

Приведем несколько примеров.

а) Составим выражение, которое можно разложить по формуле суммы кубов: $x^3 + 64$.

В этом выражении первое слагаемое – это куб переменной $x$, а второе – куб числа 4, так как $64 = 4^3$. Таким образом, мы имеем выражение вида $x^3 + 4^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a=x$ и $b=4$:

$x^3 + 4^3 = (x + 4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

Ответ: $(x + 4)(x^2 - 4x + 16)$.

б) Составим выражение, которое можно разложить по формуле разности кубов: $125p^3 - 1$.

Представим это выражение в виде разности кубов. Первое слагаемое – это $(5p)^3$, так как $125p^3 = 5^3 \cdot p^3 = (5p)^3$. Второе слагаемое – это $1^3$, так как $1=1^3$. Получаем $(5p)^3 - 1^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a=5p$ и $b=1$:

$(5p)^3 - 1^3 = (5p - 1)((5p)^2 + 5p \cdot 1 + 1^2) = (5p - 1)(25p^2 + 5p + 1)$.

Ответ: $(5p - 1)(25p^2 + 5p + 1)$.

в) Составим более сложное выражение для разложения по формуле суммы кубов: $27m^6 + 8n^9$.

Представим каждое слагаемое в виде куба. $27m^6 = 3^3 \cdot (m^2)^3 = (3m^2)^3$. Второе слагаемое: $8n^9 = 2^3 \cdot (n^3)^3 = (2n^3)^3$. Таким образом, выражение имеет вид $(3m^2)^3 + (2n^3)^3$.

Применим формулу суммы кубов, где $a=3m^2$ и $b=2n^3$:

$(3m^2)^3 + (2n^3)^3 = (3m^2 + 2n^3)((3m^2)^2 - (3m^2)(2n^3) + (2n^3)^2) = (3m^2 + 2n^3)(9m^4 - 6m^2n^3 + 4n^6)$.

Ответ: $(3m^2 + 2n^3)(9m^4 - 6m^2n^3 + 4n^6)$.

г) Составим выражение с составными частями для разложения по формуле разности кубов: $(x+y)^3 - 216$.

Здесь первое слагаемое уже является кубом выражения $(x+y)$. Второе слагаемое $216$ можно представить как $6^3$. Выражение принимает вид $(x+y)^3 - 6^3$.

Применим формулу разности кубов, где $a = x+y$ и $b=6$:

$(x+y)^3 - 6^3 = ((x+y) - 6)((x+y)^2 + (x+y) \cdot 6 + 6^2) = (x+y-6)(x^2 + 2xy + y^2 + 6x + 6y + 36)$.

Ответ: $(x+y-6)(x^2 + 2xy + y^2 + 6x + 6y + 36)$.

877 Упростите выражение:

а) $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2);$

б) $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4);$

в) $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9);$

г) $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2).$

а) Для упрощения выражения $(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ и суммой кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$(a^3 - b^3) + (a^3 + b^3)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^3 - b^3 + a^3 + b^3 = (a^3 + a^3) + (-b^3 + b^3) = 2a^3$

Ответ: $2a^3$

б) В выражении $(x + 2)(x^2 - 2x + 4) - (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ мы также видим формулы суммы и разности кубов.

Первая часть выражения, $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$, является формулой суммы кубов: $x^3 + 2^3 = x^3 + 8$.

Вторая часть, $(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$, является формулой разности кубов: $x^3 - 2^3 = x^3 - 8$.

Подставим полученные выражения в исходное:

$(x^3 + 8) - (x^3 - 8)$

Раскроем скобки, меняя знаки во второй скобке на противоположные:

$x^3 + 8 - x^3 + 8 = (x^3 - x^3) + (8 + 8) = 16$

Ответ: $16$

в) Рассмотрим выражение $y(y - 1)(y + 1) - (y - 3)(y^2 + 3y + 9)$ и упростим его по частям.

Первая часть: $y(y - 1)(y + 1)$. Здесь $(y - 1)(y + 1)$ — это формула разности квадратов, равная $y^2 - 1$. Тогда $y(y^2 - 1) = y^3 - y$.

Вторая часть: $(y - 3)(y^2 + 3y + 9)$. Это формула разности кубов, равная $y^3 - 3^3 = y^3 - 27$.

Теперь объединим упрощенные части:

$(y^3 - y) - (y^3 - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$y^3 - y - y^3 + 27 = (y^3 - y^3) - y + 27 = -y + 27$

Ответ: $27 - y$

г) Упростим выражение $x(x + 3)^2 - (x + 2)(x^2 - 2x + 4) - 2(x - 2)(3x + 2)$ по частям.

1. Упростим первое слагаемое $x(x + 3)^2$. Сначала возведем в квадрат по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x + 3)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9$

Теперь умножим на $x$:

$x(x^2 + 6x + 9) = x^3 + 6x^2 + 9x$

2. Упростим второе слагаемое $(x + 2)(x^2 - 2x + 4)$. Это формула суммы кубов:

$(x + 2)(x^2 - 2x + 4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8$

3. Упростим третье слагаемое $2(x - 2)(3x + 2)$. Сначала раскроем скобки $(x - 2)(3x + 2)$:

$(x - 2)(3x + 2) = x \cdot 3x + x \cdot 2 - 2 \cdot 3x - 2 \cdot 2 = 3x^2 + 2x - 6x - 4 = 3x^2 - 4x - 4$

Теперь умножим на 2:

$2(3x^2 - 4x - 4) = 6x^2 - 8x - 8$

4. Подставим все упрощенные части в исходное выражение:

$(x^3 + 6x^2 + 9x) - (x^3 + 8) - (6x^2 - 8x - 8)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^3 + 6x^2 + 9x - x^3 - 8 - 6x^2 + 8x + 8$

Группируем подобные члены: $(x^3 - x^3) + (6x^2 - 6x^2) + (9x + 8x) + (-8 + 8) = 0 + 0 + 17x + 0 = 17x$

Ответ: $17x$

Разложите на множители (878–879).

878 a) $x^3y^3 - 1;$

б) $8a^3b^3 + c^3;$

в) $1 - m^3n^3p^3;$

г) $x^3y^3 + 8a^3z^3.$

а) Для разложения на множители выражения $x^3y^3 - 1$ используется формула разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Сначала представим данное выражение в виде разности кубов двух членов. $x^3y^3 - 1 = (xy)^3 - 1^3$.
В данном случае $A = xy$ и $B = 1$.
Теперь подставим эти значения в формулу разности кубов:
$(xy)^3 - 1^3 = (xy - 1)((xy)^2 + xy \cdot 1 + 1^2)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.
Ответ: $(xy - 1)(x^2y^2 + xy + 1)$.

б) Для разложения на множители выражения $8a^3b^3 + c^3$ используется формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Сначала представим данное выражение в виде суммы кубов двух членов.
$8a^3b^3 + c^3 = (2ab)^3 + c^3$.
В данном случае $A = 2ab$ и $B = c$.
Теперь подставим эти значения в формулу суммы кубов:
$(2ab)^3 + c^3 = (2ab + c)((2ab)^2 - 2ab \cdot c + c^2)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.
Ответ: $(2ab + c)(4a^2b^2 - 2abc + c^2)$.

в) Для разложения на множители выражения $1 - m^3n^3p^3$ используется формула разности кубов: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.
Сначала представим данное выражение в виде разности кубов двух членов.
$1 - m^3n^3p^3 = 1^3 - (mnp)^3$.
В данном случае $A = 1$ и $B = mnp$.
Теперь подставим эти значения в формулу разности кубов:
$1^3 - (mnp)^3 = (1 - mnp)(1^2 + 1 \cdot mnp + (mnp)^2)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.
Ответ: $(1 - mnp)(1 + mnp + m^2n^2p^2)$.

г) Для разложения на множители выражения $x^3y^3 + 8a^3z^3$ используется формула суммы кубов: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.
Сначала представим данное выражение в виде суммы кубов двух членов.
$x^3y^3 + 8a^3z^3 = (xy)^3 + (2az)^3$.
В данном случае $A = xy$ и $B = 2az$.
Теперь подставим эти значения в формулу суммы кубов:
$(xy)^3 + (2az)^3 = (xy + 2az)((xy)^2 - xy \cdot 2az + (2az)^2)$.
Упростим выражение во второй скобке:
$(xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.
Ответ: $(xy + 2az)(x^2y^2 - 2axyz + 4a^2z^2)$.

879 a) $(x+y)^3-(x-y)^3$;

Б) $(a-b)^3+(a+b)^3$;

В) $(n+3)^3-(n-3)^3$;

Г) $(m-1)^3+(m+1)^3$.

а)

Для упрощения выражения $(x+y)^3 - (x-y)^3$ воспользуемся формулами сокращенного умножения для куба суммы и куба разности:

$(A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$

$(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3$

Раскроем каждую скобку в исходном выражении:

$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$

$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$

Теперь выполним вычитание второго многочлена из первого:

$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$

Раскрываем скобки, меняя знаки у всех членов второго многочлена на противоположные:

$x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3 - x^3 + 3x^2y - 3xy^2 + y^3$

Приводим подобные слагаемые:

$(x^3 - x^3) + (3x^2y + 3x^2y) + (3xy^2 - 3xy^2) + (y^3 + y^3) = 6x^2y + 2y^3$

Ответ: $6x^2y + 2y^3$

б)

Для выражения $(a-b)^3 + (a+b)^3$ используем те же формулы куба разности и куба суммы.

$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Теперь сложим полученные многочлены:

$(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3)$

Приводим подобные слагаемые:

$(a^3 + a^3) + (-3a^2b + 3a^2b) + (3ab^2 + 3ab^2) + (-b^3 + b^3) = 2a^3 + 6ab^2$

Ответ: $2a^3 + 6ab^2$

в)

Упростим выражение $(n+3)^3 - (n-3)^3$, раскрыв скобки по формулам куба суммы и куба разности.

Раскроем куб суммы $(n+3)^3$:

$(n+3)^3 = n^3 + 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 + 3^3 = n^3 + 9n^2 + 27n + 27$

Раскроем куб разности $(n-3)^3$:

$(n-3)^3 = n^3 - 3 \cdot n^2 \cdot 3 + 3 \cdot n \cdot 3^2 - 3^3 = n^3 - 9n^2 + 27n - 27$

Вычтем второе выражение из первого:

$(n^3 + 9n^2 + 27n + 27) - (n^3 - 9n^2 + 27n - 27)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$n^3 + 9n^2 + 27n + 27 - n^3 + 9n^2 - 27n + 27 = (n^3 - n^3) + (9n^2 + 9n^2) + (27n - 27n) + (27 + 27) = 18n^2 + 54$

Ответ: $18n^2 + 54$

г)

Аналогично предыдущим примерам, раскроем скобки в выражении $(m-1)^3 + (m+1)^3$ и приведем подобные слагаемые.

Раскроем куб разности $(m-1)^3$:

$(m-1)^3 = m^3 - 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 - 1^3 = m^3 - 3m^2 + 3m - 1$

Раскроем куб суммы $(m+1)^3$:

$(m+1)^3 = m^3 + 3 \cdot m^2 \cdot 1 + 3 \cdot m \cdot 1^2 + 1^3 = m^3 + 3m^2 + 3m + 1$

Сложим полученные многочлены:

$(m^3 - 3m^2 + 3m - 1) + (m^3 + 3m^2 + 3m + 1)$

Приведем подобные слагаемые:

$(m^3 + m^3) + (-3m^2 + 3m^2) + (3m + 3m) + (-1 + 1) = 2m^3 + 6m$

Ответ: $2m^3 + 6m$

880 Сократите дробь:

а) $ \frac{a-b}{a^3-b^3}; $

б) $ \frac{p^3+q^3}{2p+2q}; $

В) $ \frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}; $

Г) $ \frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}; $

Д) $ \frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}; $

е) $ \frac{a^2-az}{a^3-z^3}. $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a-b}{a^3-b^3}$, разложим знаменатель на множители по формуле разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.
Получаем выражение:
$\frac{a-b}{(a-b)(a^2+ab+b^2)}$
Сокращаем общий множитель $(a-b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{a^2+ab+b^2}$
Ответ: $\frac{1}{a^2+ab+b^2}$

б) В дроби $\frac{p^3+q^3}{2p+2q}$ разложим числитель на множители по формуле суммы кубов $p^3 + q^3 = (p + q)(p^2 - pq + q^2)$, а в знаменателе вынесем общий множитель 2 за скобки: $2p+2q = 2(p+q)$.
Получаем выражение:
$\frac{(p+q)(p^2-pq+q^2)}{2(p+q)}$
Сокращаем общий множитель $(p+q)$:
$\frac{p^2-pq+q^2}{2}$
Ответ: $\frac{p^2-pq+q^2}{2}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{x^3-y^3}{x^2-y^2}$, разложим на множители и числитель, и знаменатель.
Числитель раскладываем по формуле разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$.
Знаменатель раскладываем по формуле разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.
Получаем выражение:
$\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)}$
Сокращаем общий множитель $(x-y)$:
$\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$
Ответ: $\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}$

г) В дроби $\frac{a^2+2ab+b^2}{a^3+b^3}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель является полным квадратом суммы: $a^2+2ab+b^2 = (a+b)^2$.
Знаменатель — это сумма кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.
Получаем выражение:
$\frac{(a+b)^2}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a+b)(a+b)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)}$
Сокращаем общий множитель $(a+b)$:
$\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$
Ответ: $\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}$

д) В дроби $\frac{m^3+n^3}{2(m^2-mn+n^2)}$ разложим числитель по формуле суммы кубов: $m^3+n^3 = (m+n)(m^2-mn+n^2)$.
Получаем выражение:
$\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{2(m^2-mn+n^2)}$
Сокращаем общий множитель $(m^2-mn+n^2)$:
$\frac{m+n}{2}$
Ответ: $\frac{m+n}{2}$

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-az}{a^3-z^3}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a^2-az = a(a-z)$.
Знаменатель разложим по формуле разности кубов: $a^3-z^3 = (a-z)(a^2+az+z^2)$.
Получаем выражение:
$\frac{a(a-z)}{(a-z)(a^2+az+z^2)}$
Сокращаем общий множитель $(a-z)$:
$\frac{a}{a^2+az+z^2}$
Ответ: $\frac{a}{a^2+az+z^2}$

881 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab = a^2 + b^2$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} + ab = (a + b)^2$.

а)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab $.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $. Подставим это разложение в числитель дроби:

$ \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a + b} + ab $

Сократим дробь на общий множитель $ (a + b) $, при условии, что $ a + b \neq 0 $:

$ (a^2 - ab + b^2) + ab $

Теперь упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$ a^2 - ab + ab + b^2 = a^2 + b^2 $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства: $ a^2 + b^2 = a^2 + b^2 $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{a^3 - b^3}{a - b} + ab $.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Подставим это разложение в числитель дроби:

$ \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} + ab $

Сократим дробь на общий множитель $ (a - b) $, при условии, что $ a - b \neq 0 $:

$ (a^2 + ab + b^2) + ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Полученное выражение является полным квадратом суммы, согласно формуле: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства: $ (a + b)^2 = (a + b)^2 $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

882 Выполните умножение:

а) $(m + 1)((m^2 - m + 1) + 3);$

б) $(x + 1)(x^2 - x + 7);$

в) $(a + b)(a^2 - 3ab + b^2);$

г) $(p - q)(p^2 + 3pq + q^2).$

Подсказка. Преобразуйте второй многочлен так, чтобы можно было применить формулу разности или суммы кубов. Например, так:

$(c - 1)(c^2 + c + 3) = (c - 1)((c^2 + c + 1) + 2) = (c^3 - 1) + 2(c - 1) = c^3 - 1 + 2c - 2 = c^3 + 2c - 3.$

а) Для решения используем подсказку и преобразуем второй многочлен, чтобы применить формулу суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$. В данном случае $a=m$ и $b=1$, поэтому формула выглядит так: $m^3 + 1^3 = (m+1)(m^2 - m + 1)$.
Исходное выражение: $(m+1)(m^2 - m + 1 + 3)$.
Представим второй множитель в виде суммы: $(m+1)((m^2 - m + 1) + 3)$.
Теперь раскроем скобки, умножая $(m+1)$ на каждое слагаемое во второй скобке: $(m+1)(m^2 - m + 1) + 3(m+1)$.
Применяем формулу суммы кубов к первому произведению: $(m^3 + 1) + 3(m+1)$.
Раскрываем оставшиеся скобки и приводим подобные слагаемые: $m^3 + 1 + 3m + 3 = m^3 + 3m + 4$.
Ответ: $m^3 + 3m + 4$.

б) Решаем аналогично предыдущему пункту, применяя формулу суммы кубов для $x$ и $1$: $x^3 + 1^3 = (x+1)(x^2 - x + 1)$.
Исходное выражение: $(x+1)(x^2 - x + 7)$.
Преобразуем второй многочлен: $(x+1)((x^2 - x + 1) + 6)$.
Раскроем скобки: $(x+1)(x^2 - x + 1) + 6(x+1)$.
Применим формулу суммы кубов: $(x^3 + 1) + 6(x+1)$.
Раскроем скобки и упростим выражение: $x^3 + 1 + 6x + 6 = x^3 + 6x + 7$.
Ответ: $x^3 + 6x + 7$.

в) В этом примере также используется формула суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.
Исходное выражение: $(a+b)(a^2 - 3ab + b^2)$.
Чтобы применить формулу, преобразуем второй многочлен, выделив в нем неполный квадрат разности: $a^2 - 3ab + b^2 = (a^2 - ab + b^2) - 2ab$.
Подставим это в исходное выражение: $(a+b)((a^2 - ab + b^2) - 2ab)$.
Раскроем скобки: $(a+b)(a^2 - ab + b^2) - 2ab(a+b)$.
Применим формулу суммы кубов к первому произведению: $(a^3 + b^3) - 2ab(a+b)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $a^3 + b^3 - 2a^2b - 2ab^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$.
Ответ: $a^3 - 2a^2b - 2ab^2 + b^3$.

г) Здесь необходимо использовать формулу разности кубов: $p^3 - q^3 = (p-q)(p^2 + pq + q^2)$.
Исходное выражение: $(p-q)(p^2 + 3pq + q^2)$.
Преобразуем второй многочлен, выделив в нем неполный квадрат суммы: $p^2 + 3pq + q^2 = (p^2 + pq + q^2) + 2pq$.
Подставим преобразованное выражение: $(p-q)((p^2 + pq + q^2) + 2pq)$.
Раскроем скобки: $(p-q)(p^2 + pq + q^2) + 2pq(p-q)$.
Применим формулу разности кубов: $(p^3 - q^3) + 2pq(p-q)$.
Раскроем оставшиеся скобки: $p^3 - q^3 + 2p^2q - 2pq^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$.
Ответ: $p^3 + 2p^2q - 2pq^2 - q^3$.

883 Представьте выражение в виде многочлена:

a) $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4);$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1);$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2);$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2.$

а) Чтобы представить выражение $(a - b)(a + b)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$ в виде многочлена, воспользуемся формулами сокращенного умножения.

Сначала применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к первым двум множителям:

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Теперь исходное выражение принимает вид:

$(a^2 - b^2)(a^4 + a^2b^2 + b^4)$

Это выражение соответствует формуле разности кубов $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$, где $x = a^2$ и $y = b^2$. Второй множитель $(a^2)^2 + (a^2)(b^2) + (b^2)^2 = a^4 + a^2b^2 + b^4$ полностью совпадает с формулой.

Применяя формулу, получаем:

$(a^2)^3 - (b^2)^3 = a^6 - b^6$

Ответ: $a^6 - b^6$

б) $(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Будем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Умножим первые два множителя:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1$

Выражение примет вид:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Снова применяем формулу разности квадратов:

$(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$

Теперь выражение выглядит так:

$(x^4 - 1)(x^8 + x^4 + 1)$

Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a = x^4$ и $b = 1$.

Применив эту формулу, получаем итоговый многочлен:

$(x^4)^3 - 1^3 = x^{12} - 1$

Ответ: $x^{12} - 1$

в) $(x - y)(x + y)(x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

Сгруппируем множители таким образом, чтобы можно было применить формулы суммы и разности кубов.

Группа 1: $(x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Это формула разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$, результат: $x^3 - y^3$.

Группа 2: $(x + y)(x^2 - xy + y^2)$. Это формула суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$, результат: $x^3 + y^3$.

Исходное выражение можно переписать как произведение результатов этих двух групп:

$(x^3 - y^3)(x^3 + y^3)$

Теперь применим формулу разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, где $a = x^3$ и $b = y^3$.

$(x^3)^2 - (y^3)^2 = x^6 - y^6$

Ответ: $x^6 - y^6$

г) $(a + b)^2(a^2 - ab + b^2)^2$

Воспользуемся свойством степеней $x^n y^n = (xy)^n$ и объединим выражения под одним знаком квадрата:

$[(a + b)(a^2 - ab + b^2)]^2$

Выражение в квадратных скобках является формулой суммы кубов: $(a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3$.

Подставим это в наше выражение:

$(a^3 + b^3)^2$

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, где $x = a^3$ и $y = b^3$.

$(a^3)^2 + 2(a^3)(b^3) + (b^3)^2 = a^6 + 2a^3b^3 + b^6$

Ответ: $a^6 + 2a^3b^3 + b^6$