Номер 881, страница 239 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.4. Формулы разности и суммы кубов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 881, страница 239.

881 ДОКАЗЫВАЕМ Докажите, что:

а) $\frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab = a^2 + b^2$;

б) $\frac{a^3 - b^3}{a - b} + ab = (a + b)^2$.

а)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{a^3 + b^3}{a + b} + ab $.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $ a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) $. Подставим это разложение в числитель дроби:

$ \frac{(a + b)(a^2 - ab + b^2)}{a + b} + ab $

Сократим дробь на общий множитель $ (a + b) $, при условии, что $ a + b \neq 0 $:

$ (a^2 - ab + b^2) + ab $

Теперь упростим полученное выражение, приведя подобные слагаемые:

$ a^2 - ab + ab + b^2 = a^2 + b^2 $

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства: $ a^2 + b^2 = a^2 + b^2 $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства данного тождества преобразуем его левую часть: $ \frac{a^3 - b^3}{a - b} + ab $.

Воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности кубов: $ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) $. Подставим это разложение в числитель дроби:

$ \frac{(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{a - b} + ab $

Сократим дробь на общий множитель $ (a - b) $, при условии, что $ a - b \neq 0 $:

$ (a^2 + ab + b^2) + ab $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + ab + ab + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Полученное выражение является полным квадратом суммы, согласно формуле: $ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 $.

В результате преобразования левой части мы получили правую часть исходного равенства: $ (a + b)^2 = (a + b)^2 $. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.