Номер 2, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 2, страница 241.

Как проверить, верно или неверно выполнено разложение многочлена на множители? Проверьте правильность разложения на множители многочленов:

a) $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$

б) $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$

Чтобы проверить, верно ли выполнено разложение многочлена на множители, нужно выполнить обратное действие — умножение. Для этого необходимо перемножить все множители, стоящие в правой части равенства. Если после раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых получится исходный многочлен (тот, что стоит в левой части равенства), то разложение считается верным. В противном случае — неверным.

Проверим правильность разложения для каждого случая.

а) $x^3 - x^2y - x + y = (x - 1)(x + 1)(x - y)$

Перемножим множители в правой части равенства. Сначала умножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(x - 1)(x + 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Теперь умножим полученный результат на третий множитель $(x - y)$:

$(x^2 - 1)(x - y) = x^2 \cdot x - x^2 \cdot y - 1 \cdot x - 1 \cdot (-y) = x^3 - x^2y - x + y$

Полученный многочлен $x^3 - x^2y - x + y$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено правильно.

Ответ: разложение выполнено верно.

б) $a^2 - 2ab + b^2 + a - b = (a - b)(a - b + 1)$

Перемножим множители в правой части равенства. Для этого умножим двучлен $(a - b)$ на каждый член трехчлена $(a - b + 1)$:

$(a - b)(a - b + 1) = (a - b) \cdot (a - b) + (a - b) \cdot 1 = (a - b)^2 + (a - b)$

Теперь раскроем скобки, применив формулу квадрата разности $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 + (a - b) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a - b) = a^2 - 2ab + b^2 + a - b$

Полученный многочлен $a^2 - 2ab + b^2 + a - b$ полностью совпадает с многочленом в левой части равенства. Следовательно, разложение выполнено правильно.

Ответ: разложение выполнено верно.