Номер 1, страница 241 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 1, страница 241.

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители. Прочитайте рекомендации, которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители. Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Назовите известные вам приёмы разложения многочленов на множители.

Существует несколько основных приёмов (методов) разложения многочленов на множители:

• Вынесение общего множителя за скобки. Это основной и самый первый приём, который следует проверить. Если все члены многочлена имеют общий множитель, его можно вынести за скобки. Например, в многочлене $ax + ay$ общий множитель $a$, поэтому $ax + ay = a(x+y)$.
• Метод группировки. Этот метод применяется, когда не все члены многочлена имеют общий множитель. Члены многочлена группируются таким образом, чтобы в каждой группе можно было вынести свой общий множитель, после чего появляется общий множитель для всех групп. Например, $ax + by + ay + bx = (ax+ay) + (bx+by) = a(x+y) + b(x+y) = (a+b)(x+y)$.
• Применение формул сокращенного умножения. Часто многочлен представляет собой одну из известных формул, записанную в "раскрытом" виде. Основные формулы:
  • Разность квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
  • Квадрат суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$
  • Квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$
  • Сумма кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$
  • Разность кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$
• Разложение квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен вида $ax^2 + bx + c$ можно разложить на множители по формуле $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ – корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.
• Метод выделения полного квадрата. Этот метод позволяет преобразовать многочлен, добавив и отняв одно и то же выражение, чтобы получить полный квадрат и затем применить формулу разности квадратов.

Ответ: Известные приёмы разложения многочленов на множители: вынесение общего множителя за скобки, метод группировки, применение формул сокращенного умножения, разложение квадратного трехчлена на множители.

Прочитайте рекомендации, которых целесообразно придерживаться при разложении многочлена на множители.

При разложении многочлена на множители целесообразно придерживаться следующего порядка действий (алгоритма):

1. Вынести общий множитель за скобки, если он существует. Это первый и самый важный шаг, который часто упрощает дальнейшее решение.
2. Проверить, можно ли применить формулы сокращенного умножения. После вынесения общего множителя нужно посмотреть, не является ли оставшееся выражение разностью квадратов, квадратом суммы или разности, или другой известной формулой.
3. Использовать метод группировки. Если в многочлене четыре или более слагаемых и предыдущие шаги не дали результата, следует попробовать сгруппировать их для нахождения общего множителя.
4. Проверить, что разложение полное. Убедиться, что полученные в итоге множители нельзя разложить дальше на многочлены с более низкой степенью.

Ответ: Рекомендуется последовательно проверять возможность: 1) вынесения общего множителя; 2) применения формул сокращенного умножения; 3) применения метода группировки; 4) а также проверять полноту разложения на каждом этапе.

Пользуясь этими рекомендациями, разложите на множители многочлен $4a^2c - b^2c$.

Применим указанные рекомендации для разложения многочлена $4a^2c - b^2c$ на множители.

1. Вынесем общий множитель за скобки.

В обоих слагаемых, $4a^2c$ и $-b^2c$, есть общий множитель $c$. Выносим его:

$4a^2c - b^2c = c(4a^2 - b^2)$

2. Применим формулы сокращенного умножения.

Выражение в скобках, $4a^2 - b^2$, представляет собой разность квадратов. Мы можем представить $4a^2$ как $(2a)^2$.

Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$, где $x=2a$ и $y=b$:

$4a^2 - b^2 = (2a)^2 - b^2 = (2a - b)(2a + b)$

3. Соберем всё вместе.

Подставляя результат шага 2 в результат шага 1, получаем окончательное разложение:

$c(4a^2 - b^2) = c(2a - b)(2a + b)$

Множители $c$, $(2a - b)$ и $(2a + b)$ являются простыми, дальнейшее разложение невозможно.

Ответ: $c(2a - b)(2a + b)$