Номер 885, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 885, страница 242.

885 a) $3a^2 - 6a + 3;$

б) $ay^2 - 2ay + a;$

в) $8x^2 + 16xy + 8y^2;$

г) $-2a^2 - 4ab - 2b^2;$

д) $nx^2 + 4nx + 4n;$

е) $4x^2y - 4xy + y.$

а) Рассмотрим выражение $3a^2 - 6a + 3$.
Первым шагом вынесем общий числовой множитель 3 за скобки: $3a^2 - 6a + 3 = 3(a^2 - 2a + 1)$.
Теперь проанализируем выражение в скобках: $a^2 - 2a + 1$. Оно представляет собой формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае $x=a$ и $y=1$. Проверим: $a^2 - 2 \cdot a \cdot 1 + 1^2 = a^2 - 2a + 1$.
Таким образом, $a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Подставим это обратно в исходное выражение: $3(a-1)^2$.
Ответ: $3(a-1)^2$.

б) Рассмотрим выражение $ay^2 - 2ay + a$.
Вынесем общий множитель $a$ за скобки: $ay^2 - 2ay + a = a(y^2 - 2y + 1)$.
Выражение в скобках $y^2 - 2y + 1$ является полным квадратом разности, так как соответствует формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x=y$ и $y=1$. Проверим: $y^2 - 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2 = (y-1)^2$.
Следовательно, исходное выражение можно записать как $a(y-1)^2$.
Ответ: $a(y-1)^2$.

в) Рассмотрим выражение $8x^2 + 16xy + 8y^2$.
Вынесем общий числовой множитель 8 за скобки: $8x^2 + 16xy + 8y^2 = 8(x^2 + 2xy + y^2)$.
Выражение в скобках $x^2 + 2xy + y^2$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В данном случае $a=x$ и $b=y$, что дает $(x+y)^2$.
Таким образом, всё выражение равно $8(x+y)^2$.
Ответ: $8(x+y)^2$.

г) Рассмотрим выражение $-2a^2 - 4ab - 2b^2$.
Вынесем общий множитель -2 за скобки: $-2a^2 - 4ab - 2b^2 = -2(a^2 + 2ab + b^2)$.
Выражение в скобках $a^2 + 2ab + b^2$ является полным квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
Здесь $x=a$ и $y=b$, что дает $(a+b)^2$.
В результате получаем $-2(a+b)^2$.
Ответ: $-2(a+b)^2$.

д) Рассмотрим выражение $nx^2 + 4nx + 4n$.
Вынесем общий множитель $n$ за скобки: $nx^2 + 4nx + 4n = n(x^2 + 4x + 4)$.
Выражение в скобках $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=x$ и $b=2$. Проверим: $x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 4x + 4$.
Значит, $x^2 + 4x + 4 = (x+2)^2$.
Полное выражение равно $n(x+2)^2$.
Ответ: $n(x+2)^2$.

е) Рассмотрим выражение $4x^2y - 4xy + y$.
Вынесем общий множитель $y$ за скобки: $4x^2y - 4xy + y = y(4x^2 - 4x + 1)$.
Выражение в скобках $4x^2 - 4x + 1$ является полным квадратом разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае $a=2x$ и $b=1$. Проверим: $(2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$.
Таким образом, $4x^2 - 4x + 1 = (2x-1)^2$.
Исходное выражение равно $y(2x-1)^2$.
Ответ: $y(2x-1)^2$.