Номер 891, страница 242 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.5. Разложение на множители с применением нескольких способов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 891, страница 242.

891 a) $a^3 + a^2 - a - 1;$

б) $b^2 - bc - a^2 + ac;$

В) $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c;$

Г) $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2.$

а) $a^3 + a^2 - a - 1$

Для разложения данного многочлена на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первый член с третьим, а второй с четвертым, или попарно: первые два и последние два.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена:
$(a^3 + a^2) + (-a - 1)$

Вынесем общий множитель за скобки в каждой из групп:
$a^2(a + 1) - 1(a + 1)$

Теперь видно, что у обеих групп есть общий множитель $(a + 1)$. Вынесем его за скобки:
$(a + 1)(a^2 - 1)$

Выражение во второй скобке $a^2 - 1$ является разностью квадратов. Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:
$a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$

Подставим это разложение в наше выражение:
$(a + 1)(a - 1)(a + 1)$

Сгруппировав одинаковые множители, получим окончательный вид:
$(a - 1)(a + 1)^2$

Ответ: $(a - 1)(a + 1)^2$

б) $b^2 - bc - a^2 + ac$

Для разложения на множители применим метод группировки. Перегруппируем слагаемые для удобства: сгруппируем члены с квадратами и члены с переменной $c$.
$(b^2 - a^2) + (-bc + ac)$

Первая скобка представляет собой разность квадратов, разложим ее по формуле $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$. Во второй скобке вынесем за скобки $c$.
$(b - a)(b + a) + c(a - b)$

Заметим, что выражения $(b - a)$ и $(a - b)$ отличаются только знаком, то есть $(a - b) = -(b - a)$. Заменим это в выражении:
$(b - a)(b + a) - c(b - a)$

Теперь у нас есть общий множитель $(b - a)$, который можно вынести за скобки:
$(b - a)((b + a) - c)$

Раскроем внутренние скобки:
$(b - a)(b + a - c)$

Ответ: $(b - a)(b + a - c)$

в) $ab^2 + cd^2 - ad^2 - b^2c$

Используем метод группировки. Переставим слагаемые так, чтобы сгруппировать члены с общими множителями. Сгруппируем члены с $b^2$ и члены с $d^2$.
$(ab^2 - b^2c) + (cd^2 - ad^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:
$b^2(a - c) + d^2(c - a)$

Выражения в скобках $(a - c)$ и $(c - a)$ являются противоположными. Заменим $(c - a)$ на $-(a - c)$:
$b^2(a - c) - d^2(a - c)$

Теперь вынесем общий множитель $(a - c)$ за скобки:
$(a - c)(b^2 - d^2)$

Второе выражение в скобках, $b^2 - d^2$, является разностью квадратов. Разложим его по формуле:
$(a - c)(b - d)(b + d)$

Ответ: $(a - c)(b - d)(b + d)$

г) $x^2y^2 + 1 - y^2 - x^2$

Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Перегруппируем слагаемые для удобства:
$(x^2y^2 - y^2) + (1 - x^2)$

Вынесем общие множители из каждой группы:
$y^2(x^2 - 1) + (1 - x^2)$

Заменим $(1 - x^2)$ на $-(x^2 - 1)$, чтобы получить общий множитель:
$y^2(x^2 - 1) - 1(x^2 - 1)$

Вынесем общий множитель $(x^2 - 1)$ за скобки:
$(x^2 - 1)(y^2 - 1)$

Оба множителя в скобках, $(x^2 - 1)$ и $(y^2 - 1)$, являются разностями квадратов. Применим к каждому из них формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:
$(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$

Ответ: $(x - 1)(x + 1)(y - 1)(y + 1)$