Номер 907, страница 245 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.6. Решение уравнений с помощью разложения на множители. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 907, страница 245.

Найдите корни уравнения (907–908).

907 a) $(x^2 + 3)(x - 7) = 0;$

б) $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0;$

В) $(z - 1)^2(z + 4) = 0;$

Г) $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0.$

Для решения данных уравнений используется свойство произведения, равного нулю: произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

а)

Дано уравнение $(x^2 + 3)(x - 7) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $x^2 + 3 = 0$
2) $x - 7 = 0$
Решим первое уравнение: $x^2 + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть: $x^2 = -3$.
В множестве действительных чисел это уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Решим второе уравнение: $x - 7 = 0$. Перенесем -7 в правую часть: $x = 7$.
Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $x=7$.
Ответ: 7.

б)

Дано уравнение $(3y - 1)(y^2 + 1) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $3y - 1 = 0$
2) $y^2 + 1 = 0$
Решим первое уравнение: $3y - 1 = 0$. Перенесем -1 в правую часть: $3y = 1$.
Разделим обе части на 3: $y = \frac{1}{3}$.
Решим второе уравнение: $y^2 + 1 = 0$. Перенесем 1 в правую часть: $y^2 = -1$.
Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$).
Таким образом, единственным действительным корнем исходного уравнения является $y = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

в)

Дано уравнение $(z - 1)^2(z + 4) = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $(z - 1)^2 = 0$
2) $z + 4 = 0$
Решим первое уравнение: $(z - 1)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $z - 1 = 0$.
Перенесем -1 в правую часть: $z = 1$.
Решим второе уравнение: $z + 4 = 0$. Перенесем 4 в правую часть: $z = -4$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: 1; -4.

г)

Дано уравнение $(3t + 12)(t + 2)^2 = 0$.
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $3t + 12 = 0$
2) $(t + 2)^2 = 0$
Решим первое уравнение: $3t + 12 = 0$. Перенесем 12 в правую часть: $3t = -12$.
Разделим обе части на 3: $t = \frac{-12}{3} = -4$.
Решим второе уравнение: $(t + 2)^2 = 0$. Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем: $t + 2 = 0$.
Перенесем 2 в правую часть: $t = -2$.
Таким образом, уравнение имеет два корня.
Ответ: -4; -2.