Номер 863, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 863, страница 236.

863 Представьте в виде произведения:

a) $(k+m)^2 - n^2$;

б) $(p-n)^2 - 1$;

в) $(x-y)^2 - 1;

г) $(x+y)^2 - (x-y)^2;

д) $(x-1)^2 - (x+1)^2;

е) $(a-2b)^2 - (2a-b)^2.

Для решения всех пунктов используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

а) В выражении $(k + m)^2 - n^2$ в качестве $a$ выступает скобка $(k + m)$, а в качестве $b$ — переменная $n$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(k + m)^2 - n^2 = ((k + m) - n)((k + m) + n)$.
Раскрываем внутренние скобки и получаем итоговое произведение:
$(k + m - n)(k + m + n)$.
Ответ: $(k + m - n)(k + m + n)$.

б) В выражении $(p - n)^2 - 1$ представим $1$ как $1^2$. Тогда $a = (p - n)$ и $b = 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(p - n)^2 - 1^2 = ((p - n) - 1)((p - n) + 1)$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(p - n - 1)(p - n + 1)$.
Ответ: $(p - n - 1)(p - n + 1)$.

в) Выражение $(x - y)^2 - 1$ решается аналогично предыдущему. Представим $1$ как $1^2$. В этом случае $a = (x - y)$ и $b = 1$.
Применяем формулу разности квадратов:
$(x - y)^2 - 1^2 = ((x - y) - 1)((x - y) + 1)$.
Раскрываем внутренние скобки:
$(x - y - 1)(x - y + 1)$.
Ответ: $(x - y - 1)(x - y + 1)$.

г) В выражении $(x + y)^2 - (x - y)^2$ в качестве $a$ берем $(x + y)$, а в качестве $b$ — $(x - y)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((x + y) - (x - y))((x + y) + (x - y))$.
Упростим выражение в каждой из полученных скобок:
В первой скобке: $x + y - x + y = 2y$.
Во второй скобке: $x + y + x - y = 2x$.
Теперь перемножим результаты: $2y \cdot 2x = 4xy$.
Ответ: $4xy$.

д) В выражении $(x - 1)^2 - (x + 1)^2$ в качестве $a$ выступает $(x - 1)$, а в качестве $b$ — $(x + 1)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((x - 1) - (x + 1))((x - 1) + (x + 1))$.
Упростим выражение в каждой из скобок:
В первой скобке: $x - 1 - x - 1 = -2$.
Во второй скобке: $x - 1 + x + 1 = 2x$.
Перемножаем полученные выражения: $(-2) \cdot (2x) = -4x$.
Ответ: $-4x$.

е) В выражении $(a - 2b)^2 - (2a - b)^2$ в качестве первого члена $a$ возьмем $(a - 2b)$, а в качестве второго $b$ — $(2a - b)$.
Применяем формулу разности квадратов:
$((a - 2b) - (2a - b))((a - 2b) + (2a - b))$.
Упростим каждую из скобок:
В первой скобке: $a - 2b - 2a + b = -a - b = -(a + b)$.
Во второй скобке: $a - 2b + 2a - b = 3a - 3b = 3(a - b)$.
Перемножаем полученные множители: $-(a + b) \cdot 3(a - b) = -3(a + b)(a - b)$.
Ответ: $-3(a + b)(a - b)$.