Номер 866, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 866, страница 237.

866 Возьмите любые три последовательных натуральных числа и убедитесь в том, что $ (n-1)(n+1) = n^2 - 1 $. Докажите это утверждение. (Обозначьте среднее число буквой n.)

Задача состоит из двух частей: проверки утверждения на конкретном примере и его общего доказательства.

Проверка утверждения на примере

Возьмем три произвольных последовательных натуральных числа, например, 5, 6 и 7.
Крайние числа в этой последовательности — 5 и 7. Найдем их произведение:
$5 \times 7 = 35$

Среднее число — 6. Найдем квадрат среднего числа и уменьшим его на единицу:
$6^2 - 1 = 36 - 1 = 35$

Сравнивая результаты, видим, что они равны: $35 = 35$. Утверждение для чисел 5, 6, 7 выполняется.

Возьмем другой пример: 12, 13, 14.
Произведение крайних чисел: $12 \times 14 = 168$.
Квадрат среднего, уменьшенный на единицу: $13^2 - 1 = 169 - 1 = 168$.
Результаты снова совпали: $168 = 168$.

Ответ: На конкретных примерах мы убедились, что произведение крайних из трех последовательных натуральных чисел действительно равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу.

Доказательство утверждения

Для доказательства утверждения в общем виде, обозначим среднее из трех последовательных натуральных чисел буквой $n$, как предложено в условии.

Поскольку числа являются последовательными, то число, предшествующее $n$, будет равно $n-1$, а число, следующее за $n$, будет равно $n+1$.
Таким образом, мы имеем три последовательных натуральных числа: $(n-1)$, $n$, $(n+1)$.

Крайними числами в этой тройке являются $(n-1)$ и $(n+1)$. Их произведение равно:
$(n-1)(n+1)$

Среднее число — это $n$. Квадрат среднего числа, уменьшенный на единицу, записывается как:
$n^2 - 1$

Нам необходимо доказать, что произведение крайних чисел равно квадрату среднего, уменьшенному на единицу. Запишем это в виде тождества:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1$

Чтобы доказать это тождество, преобразуем его левую часть, используя формулу сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
В нашем случае $a=n$, а $b=1$:
$(n-1)(n+1) = n^2 - 1^2 = n^2 - 1$

В результате преобразования мы получили, что левая часть тождества равна его правой части:
$n^2 - 1 = n^2 - 1$
Это означает, что исходное утверждение верно для любой тройки последовательных натуральных чисел.

Ответ: Утверждение доказано. Для любого натурального $n>1$ (среднего из трех последовательных натуральных чисел) произведение крайних чисел $(n-1)(n+1)$ всегда равно $n^2 - 1$.