Номер 868, страница 237 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 868, страница 237.

868 а) $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2);$

б) $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1);$

В) $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4);$

Г) $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1).$

а) Для решения этого примера мы будем последовательно применять формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Сначала перемножим первые две скобки выражения $(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.
Теперь исходное выражение можно записать в виде: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2)$.
Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $x^2$, а в качестве $b$ - $y^2$: $(x^2 - y^2)(x^2 + y^2) = (x^2)^2 - (y^2)^2 = x^4 - y^4$.
Ответ: $x^4 - y^4$.

б) Этот пример решается аналогично предыдущему с использованием формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Рассмотрим выражение $(a - 1)(a + 1)(a^2 + 1)$.
Перемножим первые два множителя: $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$.
Подставим результат в исходное выражение: $(a^2 - 1)(a^2 + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов: $(a^2 - 1)(a^2 + 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.
Ответ: $a^4 - 1$.

в) В данном примере формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ применяется несколько раз подряд.
Исходное выражение: $(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
1. Перемножим первые две скобки: $(1 - a)(1 + a) = 1^2 - a^2 = 1 - a^2$.
Выражение принимает вид: $(1 - a^2)(1 + a^2)(1 + a^4)$.
2. Теперь перемножим первые две скобки получившегося выражения: $(1 - a^2)(1 + a^2) = 1^2 - (a^2)^2 = 1 - a^4$.
Выражение принимает вид: $(1 - a^4)(1 + a^4)$.
3. Применяем формулу в последний раз: $(1 - a^4)(1 + a^4) = 1^2 - (a^4)^2 = 1 - a^8$.
Ответ: $1 - a^8$.

г) Этот пример также решается путем последовательного применения формулы разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Исходное выражение: $(x^2 - 1)(x^2 + 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.
1. Перемножим первые две скобки: $(x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2)^2 - 1^2 = x^4 - 1$.
Выражение становится: $(x^4 - 1)(x^4 + 1)(x^8 + 1)$.
2. Перемножим следующие две скобки: $(x^4 - 1)(x^4 + 1) = (x^4)^2 - 1^2 = x^8 - 1$.
Выражение становится: $(x^8 - 1)(x^8 + 1)$.
3. Выполним последнее умножение: $(x^8 - 1)(x^8 + 1) = (x^8)^2 - 1^2 = x^{16} - 1$.
Ответ: $x^{16} - 1$.