Номер 860, страница 236 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 860, страница 236.

860 а) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2);$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x);$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c);$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y);$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2;$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a).$

а) $(a - 1)(a + 1) + a(a - 2)$

Для упрощения первого слагаемого $(a - 1)(a + 1)$ применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Для второго слагаемого $a(a - 2)$ раскроем скобки, умножив $a$ на каждый член внутри них.

$a(a - 2) = a \cdot a - a \cdot 2 = a^2 - 2a$

Теперь сложим полученные выражения:

$(a^2 - 1) + (a^2 - 2a) = a^2 - 1 + a^2 - 2a$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 + a^2 - 2a - 1 = 2a^2 - 2a - 1$

Ответ: $2a^2 - 2a - 1$

б) $(2x - y)(y + 2x) + x(4 - 3x)$

В первом произведении поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы было удобнее применить формулу: $(2x - y)(y + 2x) = (2x - y)(2x + y)$. Это разность квадратов.

$(2x - y)(2x + y) = (2x)^2 - y^2 = 4x^2 - y^2$

Раскроем скобки во втором слагаемом:

$x(4 - 3x) = x \cdot 4 - x \cdot 3x = 4x - 3x^2$

Сложим полученные многочлены:

$(4x^2 - y^2) + (4x - 3x^2) = 4x^2 - y^2 + 4x - 3x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 - 3x^2 + 4x - y^2 = x^2 + 4x - y^2$

Ответ: $x^2 + 4x - y^2$

в) $5c(c + 1) - (b - 3c)(b + 3c)$

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$5c(c + 1) = 5c \cdot c + 5c \cdot 1 = 5c^2 + 5c$

Для выражения $(b - 3c)(b + 3c)$ применим формулу разности квадратов:

$(b - 3c)(b + 3c) = b^2 - (3c)^2 = b^2 - 9c^2$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(5c^2 + 5c) - (b^2 - 9c^2) = 5c^2 + 5c - b^2 + 9c^2$

Приведем подобные слагаемые:

$5c^2 + 9c^2 + 5c - b^2 = 14c^2 + 5c - b^2$

Ответ: $14c^2 + 5c - b^2$

г) $(y - 2)(y + 2) + (3 - y)(3 + y)$

Это выражение является суммой двух произведений, каждое из которых является разностью квадратов.

$(y - 2)(y + 2) = y^2 - 2^2 = y^2 - 4$

$(3 - y)(3 + y) = 3^2 - y^2 = 9 - y^2$

Сложим полученные результаты:

$(y^2 - 4) + (9 - y^2) = y^2 - 4 + 9 - y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 - y^2 - 4 + 9 = 5$

Ответ: $5$

д) $(a + b)(a - b) - (a - b)^2$

Упростим первое слагаемое по формуле разности квадратов:

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Раскроем второе слагаемое по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Подставим полученные выражения в исходное. Обратим внимание на знак "минус" перед скобкой.

$(a^2 - b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) = a^2 - b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^2 - a^2 + 2ab - b^2 - b^2 = 2ab - 2b^2$

Ответ: $2ab - 2b^2$

е) $(2a + 1)^2 + (1 - 2a)(1 + 2a)$

Раскроем первое слагаемое по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(2a + 1)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot 1 + 1^2 = 4a^2 + 4a + 1$

Второе слагаемое раскроем по формуле разности квадратов:

$(1 - 2a)(1 + 2a) = 1^2 - (2a)^2 = 1 - 4a^2$

Сложим полученные выражения:

$(4a^2 + 4a + 1) + (1 - 4a^2) = 4a^2 + 4a + 1 + 1 - 4a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - 4a^2 + 4a + 1 + 1 = 4a + 2$

Ответ: $4a + 2$