Номер 853, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 853, страница 235.

853 ДОКАЗЫВАЕМ

а) Делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на 2? на 3? на 4? на 5? на 6? на 12? на 22? на 23? на 24?

б) Укажите 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$.

а)

Чтобы определить, делится ли значение выражения $35^2 - 11^2$ на указанные числа, сначала упростим его, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$35^2 - 11^2 = (35 - 11)(35 + 11) = 24 \times 46$.

Для удобства проверки разложим полученное произведение на простые множители:

$24 = 2^3 \times 3$

$46 = 2 \times 23$

Таким образом, значение выражения равно $(2^3 \times 3) \times (2 \times 23) = 2^4 \times 3 \times 23 = 1104$.

Теперь проверим делимость на каждое из чисел, анализируя простые множители числа 1104.

• на 2? Да, делится, так как в разложении числа есть множитель 2 (даже в четвертой степени).

• на 3? Да, делится, так как в разложении есть множитель 3.

• на 4? Да, делится, так как $4 = 2^2$, а в разложении есть $2^4$, что больше чем $2^2$.

• на 5? Нет, не делится, так как в разложении на простые множители отсутствует множитель 5.

• на 6? Да, делится, так как $6 = 2 \times 3$, а в разложении есть и множитель 2, и множитель 3.

• на 12? Да, делится, так как $12 = 4 \times 3 = 2^2 \times 3$, а в разложении есть множители $2^4$ и 3.

• на 22? Нет, не делится, так как $22 = 2 \times 11$, а в разложении отсутствует множитель 11.

• на 23? Да, делится, так как в разложении есть множитель 23.

• на 24? Да, делится, так как $24 = 8 \times 3 = 2^3 \times 3$, а в разложении есть множители $2^4$ и 3.

Ответ: значение выражения делится на 2, 3, 4, 6, 12, 23 и 24; не делится на 5 и 22.

б)

Для того чтобы указать 10 делителей числа, равного $97^2 - 43^2$, сначала найдем это число, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$97^2 - 43^2 = (97 - 43)(97 + 43) = 54 \times 140$.

Разложим это число на простые множители, чтобы было легче находить делители:

$54 = 2 \times 27 = 2 \times 3^3$

$140 = 14 \times 10 = (2 \times 7) \times (2 \times 5) = 2^2 \times 5 \times 7$

Следовательно, наше число равно $(2 \times 3^3) \times (2^2 \times 5 \times 7) = 2^3 \times 3^3 \times 5 \times 7 = 7560$.

Делителем числа является любое число, составленное из произведения его простых множителей (2, 3, 5, 7) в степенях, не превышающих те, что в разложении. Приведем 10 примеров таких делителей:

• 1 (является делителем любого целого числа)

• 2, 3, 5, 7 (простые множители из разложения)

• 4 (поскольку $4=2^2$, а в разложении есть $2^3$)

• 6 (поскольку $6 = 2 \times 3$)

• 8 (поскольку $8=2^3$)

• 9 (поскольку $9=3^2$, а в разложении есть $3^3$)

• 10 (поскольку $10=2 \times 5$)

Ответ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.