Номер 854, страница 235 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.3. Формула разности квадратов. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 854, страница 235.

854 Сократите дробь:

a) $ \frac{a+b}{a^2-b^2} $;

б) $ \frac{x-y}{x^2-y^2} $;

В) $ \frac{a^2-1}{ab-b} $;

Г) $ \frac{ab-3a}{b^2-9} $;

Д) $ \frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2} $;

е) $ \frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a+b}{a^2-b^2}$, необходимо разложить знаменатель на множители. Знаменатель представляет собой разность квадратов, которая раскладывается по формуле $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Применим эту формулу к знаменателю: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$.

Теперь дробь выглядит так: $\frac{a+b}{(a-b)(a+b)}$.

Сокращаем общий множитель $(a+b)$ в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{a+b}}{(a-b)\cancel{(a+b)}} = \frac{1}{a-b}$.

Ответ: $\frac{1}{a-b}$.

б) Чтобы сократить дробь $\frac{x-y}{x^2-y^2}$, разложим знаменатель на множители. Знаменатель $x^2-y^2$ является разностью квадратов, поэтому $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Подставим разложенный знаменатель в дробь: $\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}$.

Сократим на общий множитель $(x-y)$:

$\frac{\cancel{x-y}}{\cancel{(x-y)}(x+y)} = \frac{1}{x+y}$.

Ответ: $\frac{1}{x+y}$.

в) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-1}{ab-b}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель $a^2-1$ — это разность квадратов: $a^2-1^2 = (a-1)(a+1)$.

В знаменателе $ab-b$ вынесем общий множитель $b$ за скобки: $b(a-1)$.

Дробь принимает вид: $\frac{(a-1)(a+1)}{b(a-1)}$.

Сокращаем общий множитель $(a-1)$:

$\frac{\cancel{(a-1)}(a+1)}{b\cancel{(a-1)}} = \frac{a+1}{b}$.

Ответ: $\frac{a+1}{b}$.

г) Чтобы сократить дробь $\frac{ab-3a}{b^2-9}$, разложим на множители числитель и знаменатель.

В числителе $ab-3a$ вынесем общий множитель $a$ за скобки: $a(b-3)$.

Знаменатель $b^2-9$ — это разность квадратов: $b^2-3^2 = (b-3)(b+3)$.

Получаем дробь: $\frac{a(b-3)}{(b-3)(b+3)}$.

Сокращаем на общий множитель $(b-3)$:

$\frac{a\cancel{(b-3)}}{\cancel{(b-3)}(b+3)} = \frac{a}{b+3}$.

Ответ: $\frac{a}{b+3}$.

д) Чтобы сократить дробь $\frac{x^2-y^2}{x^2+2xy+y^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулы сокращенного умножения.

Числитель $x^2-y^2$ — это разность квадратов: $(x-y)(x+y)$.

Знаменатель $x^2+2xy+y^2$ — это квадрат суммы: $(x+y)^2$.

Дробь принимает вид: $\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}$ или $\frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)(x+y)}$.

Сокращаем на общий множитель $(x+y)$:

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{(x+y)\cancel{(x+y)}} = \frac{x-y}{x+y}$.

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$.

е) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2-2ab+b^2}{a^2-b^2}$, разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель $a^2-2ab+b^2$ — это квадрат разности: $(a-b)^2$.

Знаменатель $a^2-b^2$ — это разность квадратов: $(a-b)(a+b)$.

Подставляем в дробь: $\frac{(a-b)^2}{(a-b)(a+b)}$ или $\frac{(a-b)(a-b)}{(a-b)(a+b)}$.

Сокращаем на общий множитель $(a-b)$:

$\frac{(a-b)\cancel{(a-b)}}{\cancel{(a-b)}(a+b)} = \frac{a-b}{a+b}$.

Ответ: $\frac{a-b}{a+b}$.