Номер 829, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 829, страница 230.

829 а) $(x + 1) + x(x + 1)$;

б) $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$;

В) $y(a - y) - y^2(a - y)$;

Г) $a(a - 1) - (a - 1)$.

а)

В выражении $(x + 1) + x(x + 1)$ мы видим два слагаемых: $(x + 1)$ и $x(x + 1)$.
Общим множителем для этих слагаемых является выражение в скобках $(x + 1)$.
Представим первое слагаемое как $1 \cdot (x + 1)$, чтобы наглядно показать множитель. Выражение примет вид: $1 \cdot (x + 1) + x(x + 1)$.
Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки. В скобках останется сумма коэффициентов при общем множителе, то есть $(1 + x)$.
$(x + 1) + x(x + 1) = (x + 1)(1 + x)$.
Поскольку $1 + x = x + 1$, то выражение можно записать как:
$(x + 1)(x + 1) = (x + 1)^2$.
Ответ: $(x + 1)(1 + x)$ или $(x + 1)^2$.

б)

Рассмотрим выражение $m^2(n + 1) + 2m(n + 1)$.
Оба слагаемых, $m^2(n + 1)$ и $2m(n + 1)$, имеют общие множители.
Общим буквенным множителем является $m$ (в наименьшей степени, то есть $m^1$).
Также общим множителем является выражение в скобках $(n + 1)$.
Следовательно, общий множитель, который можно вынести за скобки, это $m(n + 1)$.
Выносим $m(n + 1)$ за скобки. Для этого делим каждое слагаемое на $m(n + 1)$: от первого слагаемого $m^2(n + 1)$ останется $\frac{m^2(n+1)}{m(n+1)} = m$; от второго слагаемого $2m(n + 1)$ останется $\frac{2m(n+1)}{m(n+1)} = 2$.
В результате получаем:
$m(n + 1)(m + 2)$.
Ответ: $m(n + 1)(m + 2)$.

в)

В выражении $y(a - y) - y^2(a - y)$ уменьшаемое $y(a - y)$ и вычитаемое $y^2(a - y)$ имеют общие множители.
Общие множители: $y$ (в наименьшей степени, т.е. $y^1$) и выражение в скобках $(a - y)$.
Вынесем общий множитель $y(a - y)$ за скобки.
От уменьшаемого $y(a - y)$ останется $1$, так как $\frac{y(a-y)}{y(a-y)} = 1$.
От вычитаемого $-y^2(a - y)$ останется $-y$, так как $\frac{y^2(a-y)}{y(a-y)} = y$.
Таким образом, получаем:
$y(a - y)(1 - y)$.
Ответ: $y(a - y)(1 - y)$.

г)

Рассмотрим выражение $a(a - 1) - (a - 1)$.
Общим множителем здесь является выражение в скобках $(a - 1)$.
Представим вычитаемое $(a - 1)$ как $1 \cdot (a - 1)$. Выражение примет вид: $a(a - 1) - 1 \cdot (a - 1)$.
Вынесем общий множитель $(a - 1)$ за скобки. В скобках останется разность коэффициентов, стоявших перед скобкой, то есть $(a - 1)$.
$a(a - 1) - (a - 1) = (a - 1)(a - 1)$.
Это выражение можно записать в виде квадрата разности:
$(a - 1)^2$.
Ответ: $(a - 1)(a - 1)$ или $(a - 1)^2$.