Номер 824, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 824, страница 229.

824 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Вычислите:

a) $\frac{2^{12} - 2^9}{7 \cdot 2^8}$;

б) $\frac{2 \cdot 5^{10} - 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}}؛$

В) $\frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8}$;

Г) $\frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7}$.

а) Чтобы вычислить значение выражения, вынесем в числителе общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $2^9$, за скобки. Затем выполним вычисления в скобках и сократим дробь.

$ \frac{2^{12} - 2^9}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9(2^{12-9} - 1)}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9(2^3 - 1)}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9(8 - 1)}{7 \cdot 2^8} = \frac{2^9 \cdot 7}{7 \cdot 2^8} $

Сократим общий множитель 7 в числителе и знаменателе. Затем применим свойство частного степеней с одинаковым основанием $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $:

$ \frac{2^9}{2^8} = 2^{9-8} = 2^1 = 2 $

Ответ: 2.

б) В данном выражении вынесем в числителе за скобки общий множитель $5^{10}$.

$ \frac{2 \cdot 5^{10} - 5^{11}}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{2 \cdot 5^{10} - 5^1 \cdot 5^{10}}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{5^{10}(2 - 5)}{6 \cdot 5^{11}} = \frac{5^{10} \cdot (-3)}{6 \cdot 5^{11}} $

Теперь сократим дробь. Числовые коэффициенты: $ \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} $. Степени с основанием 5: $ \frac{5^{10}}{5^{11}} = 5^{10-11} = 5^{-1} = \frac{1}{5} $. Перемножим полученные результаты:

$ -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = -\frac{1}{10} = -0,1 $

Ответ: -0,1.

в) Можно разделить выражение на сумму двух дробей с одинаковым знаменателем. Это позволит упростить вычисления.

$ \frac{3^{12} + 3^{10}}{3^8} = \frac{3^{12}}{3^8} + \frac{3^{10}}{3^8} $

Применим свойство частного степеней $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ к каждому слагаемому:

$ 3^{12-8} + 3^{10-8} = 3^4 + 3^2 $

Вычислим значения степеней и сложим их:

$ 81 + 9 = 90 $

Ответ: 90.

г) В числителе вынесем за скобки общий множитель $5^6$.

$ \frac{5^8 + 5^6}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6(5^{8-6} + 1)}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6(5^2 + 1)}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6(25 + 1)}{2 \cdot 5^7} = \frac{5^6 \cdot 26}{2 \cdot 5^7} $

Сократим числовые коэффициенты $ \frac{26}{2} = 13 $. Затем упростим степени с основанием 5:

$ \frac{13 \cdot 5^6}{5^7} = 13 \cdot 5^{6-7} = 13 \cdot 5^{-1} = 13 \cdot \frac{1}{5} = \frac{13}{5} $

Переведем обыкновенную дробь в десятичную:

$ \frac{13}{5} = 2,6 $

Ответ: 2,6.