Номер 820, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 820, страница 229.

Разложите на множители (820—821).

820 а) $nm^2 + mn + n^2;$

б) $-m^3 - m^2n - mn^2;$

в) $ax^2 + a^2x - ax;$

г) $3x^3 - 2x^2 - x;$

д) $3n^6 + 6n^5 - 12n^4;$

е) $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6.$

а) В выражении $nm^2 + mn + n^2$ все члены имеют общий множитель $n$. Вынесение общего множителя за скобки — это операция, обратная умножению многочлена на одночлен. Чтобы вынести $n$ за скобки, нужно каждый член многочлена разделить на $n$:
$nm^2 + mn + n^2 = n(\frac{nm^2}{n} + \frac{mn}{n} + \frac{n^2}{n}) = n(m^2 + m + n)$.
Дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами для выражения в скобках невозможно.
Ответ: $n(m^2 + m + n)$

б) В выражении $-m^3 - m^2n - mn^2$ общим множителем для всех членов является $-m$. Вынесем его за скобки, разделив каждый член на $-m$:
$-m^3 - m^2n - mn^2 = -m(\frac{-m^3}{-m} + \frac{-m^2n}{-m} + \frac{-mn^2}{-m}) = -m(m^2 + mn + n^2)$.
Выражение $m^2 + mn + n^2$ не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.
Ответ: $-m(m^2 + mn + n^2)$

в) Для разложения на множители выражения $ax^2 + a^2x - ax$ найдем общий множитель. Каждый член содержит переменные $a$ и $x$. Наименьшая степень $a$ — первая, наименьшая степень $x$ — первая. Таким образом, общий множитель — $ax$. Вынесем его за скобки:
$ax^2 + a^2x - ax = ax(\frac{ax^2}{ax} + \frac{a^2x}{ax} - \frac{ax}{ax}) = ax(x + a - 1)$.
Ответ: $ax(x + a - 1)$

г) Сначала вынесем за скобки общий множитель $x$ в выражении $3x^3 - 2x^2 - x$:
$x(3x^2 - 2x - 1)$.
Теперь разложим на множители квадратный трехчлен $3x^2 - 2x - 1$. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 2x - 1 = 0$ по формуле корней через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16 = 4^2$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$
Используя формулу разложения $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$, получаем:
$3x^2 - 2x - 1 = 3(x-1)(x-(-\frac{1}{3})) = 3(x-1)(x+\frac{1}{3}) = (x-1)(3x+1)$.
Окончательное разложение исходного выражения:
$x(x-1)(3x+1)$.
Ответ: $x(x-1)(3x+1)$

д) В выражении $3n^6 + 6n^5 - 12n^4$ найдем наибольший общий делитель коэффициентов (3, 6, 12), который равен 3, и наименьшую степень переменной $n$, которая равна 4. Общий множитель — $3n^4$. Вынесем его за скобки:
$3n^6 + 6n^5 - 12n^4 = 3n^4(n^2 + 2n - 4)$.
Чтобы проверить, можно ли разложить далее трехчлен $n^2 + 2n - 4$, вычислим его дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 4 + 16 = 20$. Поскольку дискриминант не является квадратом целого числа, трехчлен не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.
Ответ: $3n^4(n^2 + 2n - 4)$

е) Для разложения на множители выражения $-6m^4 - 4m^5 - 2m^6$ найдем общий множитель. Наибольший общий делитель модулей коэффициентов (6, 4, 2) равен 2. Так как все члены отрицательные, удобно вынести $-2$. Наименьшая степень переменной $m$ равна 4. Общий множитель — $-2m^4$.
$-6m^4 - 4m^5 - 2m^6 = -2m^4(\frac{-6m^4}{-2m^4} + \frac{-4m^5}{-2m^4} + \frac{-2m^6}{-2m^4}) = -2m^4(3 + 2m + m^2)$.
Запишем многочлен в скобках в стандартном виде, упорядочив члены по убыванию степеней:
$-2m^4(m^2 + 2m + 3)$.
Проверим возможность разложения трехчлена $m^2 + 2m + 3$. Его дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как дискриминант отрицательный, у трехчлена нет действительных корней, и он не раскладывается на множители в поле действительных чисел.
Ответ: $-2m^4(m^2 + 2m + 3)$