Номер 825, страница 229 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 825, страница 229.

825 Вынесите общий множитель за скобки:

а) $2a^2b^2 - 6ab^2 + 2a^2b$;

б) $3a^3m + 9a^2m - 6am^2$;

в) $12xy^2z^2 - 8x^2yz^2 - 2x^2y^2z$;

г) $-4a^4b^2c - 8a^4b^3c - 16a^3b^2c$.

а) $2a^2b^2 - 6ab^2 + 2a^2b$

Чтобы вынести общий множитель за скобки, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов и общие переменные в наименьшей степени, которые присутствуют в каждом члене многочлена.

1. Находим НОД для коэффициентов 2, -6 и 2. Наибольший общий делитель для чисел 2, 6 и 2 это 2.

2. Находим общие переменные. Переменная $a$ присутствует в каждом члене в степенях 2, 1 и 2. Наименьшая степень равна 1, поэтому выносим $a^1$ или просто $a$. Переменная $b$ присутствует в каждом члене в степенях 2, 2 и 1. Наименьшая степень равна 1, поэтому выносим $b^1$ или просто $b$.

Таким образом, общий множитель для всего выражения — это произведение НОД коэффициентов и общих переменных, то есть $2ab$.

Теперь разделим каждый член исходного многочлена на этот общий множитель:$2a^2b^2 \div (2ab) = ab$;$-6ab^2 \div (2ab) = -3b$;$2a^2b \div (2ab) = a$.

Записываем результат, вынося общий множитель за скобки и помещая результаты деления в скобки: $2ab(ab - 3b + a)$.

Ответ: $2ab(ab - 3b + a)$

---

б) $3a^3m + 9a^2m - 6am^2$

1. Находим НОД для коэффициентов 3, 9 и -6. НОД(3, 9, 6) = 3.

2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ входит в степени 3, 2, 1. Наименьшая степень — 1, выносим $a$. Переменная $m$ входит в степени 1, 1, 2. Наименьшая степень — 1, выносим $m$.

Общий множитель равен $3am$.

Делим каждый член на $3am$:$3a^3m \div (3am) = a^2$;$9a^2m \div (3am) = 3a$;$-6am^2 \div (3am) = -2m$.

Записываем итоговое выражение: $3am(a^2 + 3a - 2m)$.

Ответ: $3am(a^2 + 3a - 2m)$

---

в) $12xy^2z^2 - 8x^2yz^2 - 2x^2y^2z$

1. Находим НОД для коэффициентов 12, -8 и -2. НОД(12, 8, 2) = 2.

2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Переменная $x$ ($x^1, x^2, x^2$) — выносим $x$. Переменная $y$ ($y^2, y^1, y^2$) — выносим $y$. Переменная $z$ ($z^2, z^2, z^1$) — выносим $z$.

Общий множитель равен $2xyz$.

Делим каждый член на $2xyz$:$12xy^2z^2 \div (2xyz) = 6yz$;$-8x^2yz^2 \div (2xyz) = -4xz$;$-2x^2y^2z \div (2xyz) = -xy$.

Записываем итоговое выражение: $2xyz(6yz - 4xz - xy)$.

Ответ: $2xyz(6yz - 4xz - xy)$

---

г) $-4a^4b^2c - 8a^4b^3c - 16a^3b^2c$

1. Все коэффициенты (-4, -8, -16) отрицательны, поэтому удобно вынести за скобки отрицательный множитель. Находим НОД модулей коэффициентов: НОД(4, 8, 16) = 4. Таким образом, выносим -4.

2. Находим общие переменные в наименьшей степени. Переменная $a$ ($a^4, a^4, a^3$) — выносим $a^3$. Переменная $b$ ($b^2, b^3, b^2$) — выносим $b^2$. Переменная $c$ ($c^1, c^1, c^1$) — выносим $c$.

Общий множитель равен $-4a^3b^2c$.

Делим каждый член на $-4a^3b^2c$. При делении на отрицательное число знаки в скобках изменятся на противоположные:$-4a^4b^2c \div (-4a^3b^2c) = a$;$-8a^4b^3c \div (-4a^3b^2c) = 2ab$;$-16a^3b^2c \div (-4a^3b^2c) = 4$.

Записываем итоговое выражение: $-4a^3b^2c(a + 2ab + 4)$.

Ответ: $-4a^3b^2c(a + 2ab + 4)$