Номер 831, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 831, страница 230.

831 a) $2(x - y) + (x - y)^2;$

б) $(a + b)^2 - (a + b)(a - b);$

в) $x(x - y)^2 - y(y - x)^2;$

г) $(x - y) + x(y - x);$

д) $n(m - n)^2 - (n - m)^3;$

е) $a(a - c)^2 - c(a - c)(c - a).$

а) $2(x - y) + (x - y)²$

В данном выражении оба слагаемых, $2(x - y)$ и $(x - y)²$, имеют общий множитель $(x - y)$. Вынесем этот общий множитель за скобки.

$2(x - y) + (x - y)² = (x - y) \cdot 2 + (x - y) \cdot (x - y) = (x - y)(2 + (x - y))$

Теперь раскроем внутренние скобки во втором множителе:

$(x - y)(2 + x - y)$

Ответ: $(x - y)(x - y + 2)$

б) $(a + b)² - (a + b)(a - b)$

В этом выражении общий множитель для уменьшаемого и вычитаемого — это $(a + b)$. Вынесем его за скобки.

$(a + b)² - (a + b)(a - b) = (a + b) \cdot [(a + b) - (a - b)]$

Упростим выражение в квадратных скобках, раскрыв внутренние скобки. Важно помнить, что минус перед скобкой меняет знаки всех слагаемых внутри нее.

$(a + b) - (a - b) = a + b - a + b = 2b$

Подставим полученный результат обратно в выражение:

$(a + b) \cdot 2b = 2b(a + b)$

Ответ: $2b(a + b)$

в) $x(x - y)² - y(y - x)²$

Для преобразования этого выражения заметим, что выражения $(x - y)$ и $(y - x)$ противоположны, то есть $(y - x) = -(x - y)$. Однако при возведении в квадрат результат будет одинаковым, так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного:

$(y - x)² = (-(x - y))² = (-1)² \cdot (x - y)² = (x - y)²$

Заменим $(y - x)²$ на $(x - y)²$ в исходном выражении:

$x(x - y)² - y(x - y)²$

Теперь мы видим общий множитель $(x - y)²$, который можно вынести за скобки:

$(x - y)²(x - y)$

Это произведение можно записать в виде степени:

$(x - y)³$

Ответ: $(x - y)³$

г) $(x - y) + x(y - x)$

Преобразуем второе слагаемое, используя свойство $(y - x) = -(x - y)$:

$x(y - x) = x \cdot [-(x - y)] = -x(x - y)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x - y) - x(x - y)$

Теперь мы можем вынести общий множитель $(x - y)$ за скобки. От первого слагаемого останется 1, а от второго — $-x$.

$(x - y)(1 - x)$

Ответ: $(x - y)(1 - x)$

д) $n(m - n)² - (n - m)³$

Преобразуем вычитаемое. Так как $(n - m) = -(m - n)$, то при возведении в нечетную (третью) степень знак минус сохраняется:

$(n - m)³ = (-(m - n))³ = (-1)³ \cdot (m - n)³ = -(m - n)³$

Подставим это в исходное выражение:

$n(m - n)² - (-(m - n)³) = n(m - n)² + (m - n)³$

Общим множителем является $(m - n)²$. Вынесем его за скобки:

$(m - n)²[n + (m - n)]

Упростим выражение в квадратных скобках:

$n + m - n = m$

В итоге получаем:

$(m - n)² \cdot m = m(m - n)²$

Ответ: $m(m - n)²$

е) $a(a - c)² - c(a - c)(c - a)$

Преобразуем множитель $(c - a)$ в вычитаемом. Мы знаем, что $(c - a) = -(a - c)$.

Подставим это в выражение:

$a(a - c)² - c(a - c)(-(a - c))$

Минус на минус дает плюс, и мы получаем произведение двух одинаковых скобок:

$a(a - c)² + c(a - c)(a - c) = a(a - c)² + c(a - c)²$

Теперь вынесем общий множитель $(a - c)²$ за скобки:

$(a - c)²(a + c)$

Ответ: $(a + c)(a - c)²$