Номер 835, страница 230 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 8.1. Вынесение общего множителя за скобки. Глава 8. Разложение многочленов на множители - номер 835, страница 230.

835 ДОКАЗЫВАЕМ Проиллюстрируйте каждое из данных утверждений конкретным примером и докажите его:

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

а) разность между квадратом любого натурального числа и этим числом является чётным числом;

Иллюстрация:
Возьмём натуральное число $n = 7$.
Квадрат этого числа: $7^2 = 49$.
Разность между квадратом числа и самим числом: $49 - 7 = 42$.
Число 42 является чётным, что иллюстрирует утверждение.
Возьмём другое натуральное число $n = 10$.
Квадрат этого числа: $10^2 = 100$.
Разность: $100 - 10 = 90$.
Число 90 также является чётным.

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число. Нам нужно доказать, что выражение $n^2 - n$ всегда является чётным числом.
Разложим это выражение на множители: $n^2 - n = n(n - 1)$.
Выражение представляет собой произведение двух последовательных натуральных чисел: $(n - 1)$ и $n$.
Среди любых двух последовательных натуральных чисел одно обязательно является чётным, а другое — нечётным.
Рассмотрим два случая:
1. Если $n$ — чётное число, то его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — натуральное число. Тогда произведение $n(n - 1) = 2k(n - 1)$ делится на 2, а значит, является чётным.
2. Если $n$ — нечётное число, то число $(n - 1)$ будет чётным. Его можно представить в виде $n - 1 = 2k$, где $k$ — целое неотрицательное число. Тогда произведение $n(n - 1) = n(2k)$ также делится на 2 и является чётным.
В обоих случаях произведение $n(n - 1)$ является чётным. Таким образом, утверждение доказано для любого натурального числа $n$.

Ответ: утверждение доказано.

б) сумма двух последовательных степеней числа 2 делится на 6;

Иллюстрация:
Возьмём две последовательные степени числа 2, например, $2^3$ и $2^4$.
Их сумма: $2^3 + 2^4 = 8 + 16 = 24$.
Число 24 делится на 6 без остатка ($24 \div 6 = 4$), что иллюстрирует утверждение.
Возьмём другую пару: $2^5$ и $2^6$.
Их сумма: $2^5 + 2^6 = 32 + 64 = 96$.
Число 96 также делится на 6 без остатка ($96 \div 6 = 16$).

Доказательство:
Пусть $n$ — любое натуральное число ($n \ge 1$). Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа 2: $2^n + 2^{n+1}$.
Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^{n+1} = 2^n(1 + 2^1) = 2^n \cdot 3$.
Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться одновременно на 2 и на 3.
Полученное выражение $3 \cdot 2^n$ очевидно делится на 3.
Так как $n$ — натуральное число, $n \ge 1$, то $2^n$ всегда является чётным числом ($2^1=2$, $2^2=4$, и т.д.), то есть $2^n$ делится на 2.
Поскольку выражение $3 \cdot 2^n$ делится и на 2, и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.
Более формально: $2^n \cdot 3 = 2 \cdot 2^{n-1} \cdot 3 = 6 \cdot 2^{n-1}$. Так как $n \ge 1$, то $n-1 \ge 0$, и $2^{n-1}$ является целым числом. Следовательно, выражение $6 \cdot 2^{n-1}$ делится на 6. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

в) сумма двух последовательных степеней любого натурального числа делится на следующее за ним число.

Иллюстрация:
Возьмём натуральное число $a = 3$ и две его последовательные степени, например, $3^2$ и $3^3$.
Сумма этих степеней: $3^2 + 3^3 = 9 + 27 = 36$.
Следующее за числом 3 число — это $3 + 1 = 4$.
Проверим делимость: $36 \div 4 = 9$. Сумма делится на 4 без остатка.
Возьмём другое число $a=5$ и степени $5^1$ и $5^2$.
Сумма: $5^1 + 5^2 = 5 + 25 = 30$.
Следующее за числом 5 число — это $5 + 1 = 6$.
Проверим делимость: $30 \div 6 = 5$. Сумма делится на 6 без остатка.

Доказательство:
Пусть $a$ — любое натуральное число, и пусть $n$ — любое натуральное число, обозначающее степень.
Рассмотрим сумму двух последовательных степеней числа $a$: $a^n + a^{n+1}$.
Следующее за числом $a$ число — это $a + 1$.
Нам нужно доказать, что $a^n + a^{n+1}$ делится на $a + 1$.
Вынесем общий множитель $a^n$ за скобки:
$a^n + a^{n+1} = a^n(1 + a) = a^n(a + 1)$.
Полученное выражение является произведением $a^n$ и $(a + 1)$. Так как $a$ и $n$ — натуральные числа, то $a^n$ является целым числом.
Следовательно, выражение $a^n(a + 1)$ является произведением целого числа $a^n$ на $(a+1)$, а значит, оно всегда делится на $(a + 1)$ без остатка. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.