Номер 11, страница 224 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 7. Многочлены - номер 11, страница 224.

11 Собственная скорость катера $v$ км/ч, скорость течения реки $a$ км/ч. Катер плыл 3 ч по течению реки и 3 ч против течения. Какое из следующих утверждений верно?

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Для решения задачи определим общее расстояние, которое проплыл катер. Введем обозначения:

• $v$ (км/ч) — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $a$ (км/ч) — скорость течения реки.

Скорость катера по течению реки составляет $v_{по} = v + a$ (км/ч).

Скорость катера против течения реки составляет $v_{против} = v - a$ (км/ч).

Катер плыл 3 часа по течению, за это время он прошел расстояние: $S_{по} = (v + a) \cdot 3$ км.

Катер плыл 3 часа против течения, за это время он прошел расстояние: $S_{против} = (v - a) \cdot 3$ км.

Общее расстояние, которое проплыл катер, равно сумме расстояний, пройденных по течению и против течения:

$S_{общ} = S_{по} + S_{против} = 3(v + a) + 3(v - a) = 3v + 3a + 3v - 3a = 6v$ км.

Теперь проанализируем каждое из предложенных утверждений, используя полученное значение общего расстояния.

1) за всё время он проплыл такое же расстояние, как плот по течению за 6 ч

Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $a$ км/ч. За 6 часов плот проплывет расстояние $S_{плота} = a \cdot 6 = 6a$ км. Сравниваем общее расстояние катера ($S_{общ} = 6v$) с расстоянием плота ($S_{плота} = 6a$). Равенство $6v = 6a$ (или $v = a$) верно только в том случае, если собственная скорость катера равна скорости течения. В такой ситуации катер не смог бы двигаться против течения. Следовательно, утверждение неверно.

2) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 3 ч в стоячей воде

В стоячей воде катер движется со своей собственной скоростью $v$. За 3 часа он проплывет расстояние $S_{стоячая, 3ч} = v \cdot 3 = 3v$ км. Сравниваем это расстояние с общим расстоянием, пройденным катером: $S_{общ} = 6v$. Равенство $6v = 3v$ возможно только при $v=0$, что бессмысленно. Следовательно, утверждение неверно.

3) за всё время он проплыл такое же расстояние, как за 6 ч в стоячей воде

За 6 часов в стоячей воде катер проплывет расстояние $S_{стоячая, 6ч} = v \cdot 6 = 6v$ км. Это значение в точности совпадает с вычисленным нами общим расстоянием $S_{общ} = 6v$. Следовательно, это утверждение верно.

4) по течению он проплыл такое же расстояние, как против течения

Сравним расстояние, пройденное по течению $S_{по} = 3(v + a)$, с расстоянием, пройденным против течения $S_{против} = 3(v - a)$. Равенство $3(v + a) = 3(v - a)$ возможно, только если $v + a = v - a$, что упрощается до $2a = 0$, то есть $a = 0$. Это означает, что течение отсутствует, что противоречит условию задачи (наличие скорости течения $a$). Следовательно, утверждение неверно.

Таким образом, единственное верное утверждение — третье.

Ответ: 3