Номер 598, страница 177 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 6.3. Решение комбинаторных задач. Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем - номер 598, страница 177.

598 РАССУЖДАЕМ

В латинском алфавите 26 букв. Будем считать словом любую последовательность, состоящую не более чем из пяти букв. Сколько всего таких слов?

Согласно условию задачи, в латинском алфавите 26 букв. Словом считается любая последовательность букв, длина которой «не более чем из пяти букв». Это означает, что слово может состоять из одной, двух, трех, четырех или пяти букв. Поскольку в задаче не указано иное, мы предполагаем, что буквы в слове могут повторяться.

Для решения задачи нам нужно посчитать количество возможных слов для каждой допустимой длины и затем сложить эти количества. Это задача на нахождение числа размещений с повторениями, которое вычисляется по формуле $N = n^k$, где $n$ — количество элементов для выбора (в нашем случае, 26 букв), а $k$ — длина последовательности (длина слова).

1. Количество слов из одной буквы ($k=1$):
$N_1 = 26^1 = 26$

2. Количество слов из двух букв ($k=2$):
$N_2 = 26^2 = 676$

3. Количество слов из трех букв ($k=3$):
$N_3 = 26^3 = 17\;576$

4. Количество слов из четырех букв ($k=4$):
$N_4 = 26^4 = 456\;976$

5. Количество слов из пяти букв ($k=5$):
$N_5 = 26^5 = 11\;881\;376$

Чтобы найти общее количество таких слов, нужно сложить количество слов каждой возможной длины:

$N_{общ} = N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$

$N_{общ} = 26 + 676 + 17\;576 + 456\;976 + 11\;881\;376 = 12\;356\;630$

Эту же сумму можно найти по формуле суммы первых пяти членов геометрической прогрессии, где первый член $b_1 = 26$ и знаменатель $q = 26$:

$S_5 = \frac{b_1(q^5 - 1)}{q-1} = \frac{26(26^5 - 1)}{26 - 1} = \frac{26(11\;881\;376 - 1)}{25} = \frac{26 \cdot 11\;881\;375}{25} = 26 \cdot 475\;255 = 12\;356\;630$

Ответ: всего можно составить 12 356 630 таких слов.