Номер 501, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 501, страница 147.

501 Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству:

а) $x = y^2$;

б) $x = |y|$.

а) $x = y^2$

Данное равенство описывает множество точек, образующих параболу. В отличие от стандартного вида параболы $y = ax^2+bx+c$, где осью симметрии является вертикальная прямая, в уравнении $x = y^2$ переменные $x$ и $y$ поменялись местами. Это означает, что график будет симметричен относительно горизонтальной оси — оси абсцисс ($Ox$).

Проанализируем уравнение:

• Поскольку $y^2$ не может быть отрицательным ($y^2 \ge 0$ для любого действительного $y$), то и $x$ должен быть неотрицательным ($x \ge 0$). Это означает, что весь график будет расположен в правой полуплоскости относительно оси $Oy$.
• Если $y = 0$, то $x = 0^2 = 0$. Следовательно, вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
• Для любого значения $x > 0$ существуют два противоположных значения $y$: $y = \sqrt{x}$ и $y = -\sqrt{x}$. Например, если $x=1$, то $y=1$ и $y=-1$. Если $x=4$, то $y=2$ и $y=-2$. Это подтверждает симметрию относительно оси $Ox$.

Для построения составим таблицу значений, придавая значения $y$ и вычисляя $x$:

y: -2, -1, 0, 1, 2
x: 4, 1, 0, 1, 4

Нанеся точки $(4, -2), (1, -1), (0, 0), (1, 1), (4, 2)$ на координатную плоскость и соединив их плавной кривой, мы получим параболу, ветви которой направлены вправо.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = y^2$, является параболой с вершиной в начале координат $(0, 0)$, симметричной относительно оси $Ox$ и с ветвями, направленными вправо.

б) $x = |y|$

Данное равенство содержит модуль. Чтобы построить график, необходимо раскрыть модуль по определению:

$|y| = \begin{cases} y, & \text{если } y \ge 0 \\ -y, & \text{если } y < 0 \end{cases}$

Таким образом, исходное равенство можно представить в виде системы из двух уравнений на разных промежутках для $y$:

1. Если $y \ge 0$, то уравнение принимает вид $x = y$ (или $y = x$). Графиком этой функции является прямая — биссектриса I координатного угла. Учитывая условие $y \ge 0$, мы берем только ту часть прямой, которая лежит в I координатной четверти, то есть луч, выходящий из точки $(0, 0)$.
2. Если $y < 0$, то уравнение принимает вид $x = -y$ (или $y = -x$). Графиком этой функции является прямая — биссектриса II и IV координатных углов. Учитывая условие $y < 0$, мы берем только ту часть прямой, которая лежит в IV координатной четверти, то есть луч, выходящий из точки $(0, 0)$.

Объединив эти два луча на одной координатной плоскости, мы получим фигуру, похожую на "уголок" или знак "больше", с вершиной в начале координат и симметричную относительно оси $Ox$. Заметим, что так как $x = |y|$, то $x$ всегда неотрицателен, что соответствует расположению графика в правой полуплоскости.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих равенству $x = |y|$, представляет собой объединение двух лучей, исходящих из начала координат: луча $y = x$ при $x \ge 0$ и луча $y = -x$ при $x \ge 0$.