Номер 498, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 498, страница 147.

498 Постройте график зависимости:

а) $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 1 \\ 1 & \text{при } -1 < x < 1 \\ -x & \text{при } x \le -1 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \ge 2 \\ x^2 & \text{при } 0 < x < 2 \\ -x & \text{при } x \le 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} x & \text{при } |x| \ge 1 \\ x^3 & \text{при } |x| < 1 \end{cases}$

а) Заданная функция является кусочно-заданной. Для построения ее графика нужно построить график каждой из трех функций на соответствующем промежутке.

1. На промежутке $x \le -1$ строим график функции $y = -x$. Это прямая линия. Найдем координаты двух точек:

• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$ принадлежит графику (включительно).
• При $x = -2$, $y = -(-2) = 2$. Точка $(-2, 2)$.

Графиком является луч, выходящий из точки $(-1, 1)$ и проходящий через точку $(-2, 2)$ влево и вверх.

2. На интервале $-1 < x < 1$ строим график функции $y = 1$. Это прямая, параллельная оси абсцисс, проходящая через точку $(0, 1)$. Графиком является горизонтальный отрезок, соединяющий точки с координатами $(-1, 1)$ и $(1, 1)$. Так как неравенство строгое, эти концевые точки на графике изображаются выколотыми (пустыми) кружками.

3. На промежутке $x \ge 1$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх. Найдем координаты нескольких точек:

• При $x = 1$, $y = 1^2 = 1$. Точка $(1, 1)$ принадлежит графику (включительно).
• При $x = 2$, $y = 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$.

Графиком является часть параболы, начинающаяся в точке $(1, 1)$ и идущая вправо и вверх.

Соединим все три части. В точке $x = -1$ левая часть заканчивается в точке $(-1, 1)$, а средняя часть "начинается" в этой же точке. Таким образом, в точке $x = -1$ разрыва нет. Аналогично, в точке $x = 1$ средняя часть "заканчивается" в точке $(1, 1)$, а правая часть начинается в ней. Разрыва в этой точке также нет.

Ответ: График функции представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: луча прямой $y = -x$ на промежутке $(-\infty, -1]$, отрезка прямой $y = 1$ на интервале $(-1, 1)$ и ветви параболы $y = x^2$ на промежутке $[1, \infty)$. График проходит через ключевые точки $(-2, 2)$, $(-1, 1)$, $(0, 1)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

б) Данная функция также является кусочно-заданной. Построим ее график по частям.

1. На промежутке $x \le 0$ строим график функции $y = -x$. Это прямая.

• При $x = 0$, $y = 0$. Точка $(0, 0)$ принадлежит графику (включительно).
• При $x = -1$, $y = -(-1) = 1$. Точка $(-1, 1)$.

Графиком является луч, выходящий из начала координат, точки $(0, 0)$, и проходящий через точку $(-1, 1)$ влево и вверх.

2. На интервале $0 < x < 2$ строим график функции $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в начале координат.

• На левой границе при $x \to 0$, $y \to 0$. Точка $(0, 0)$ не принадлежит этой части графика (выколотая точка).
• На правой границе при $x \to 2$, $y \to 2^2 = 4$. Точка $(2, 4)$ также не принадлежит этой части графика (выколотая точка).
• Контрольная точка: при $x=1$, $y=1^2=1$. Точка $(1,1)$.

Графиком является дуга параболы, соединяющая точки $(0, 0)$ и $(2, 4)$.

3. На промежутке $x \ge 2$ строим график функции $y = 4$. Это горизонтальная прямая.

• При $x = 2$, $y = 4$. Точка $(2, 4)$ принадлежит графику (включительно).

Графиком является горизонтальный луч, выходящий из точки $(2, 4)$ и идущий вправо.

Соединим все части. В точке $x = 0$ левая часть заканчивается в точке $(0, 0)$, а средняя часть стремится к этой же точке. Функция непрерывна в $x=0$. В точке $x = 2$ средняя часть стремится к точке $(2, 4)$, а правая часть начинается в этой же точке. Функция непрерывна в $x=2$.

Ответ: График функции — это непрерывная линия, состоящая из луча прямой $y=-x$ на промежутке $(-\infty, 0]$, дуги параболы $y=x^2$ на интервале $(0, 2)$ и горизонтального луча $y=4$ на промежутке $[2, \infty)$. Ключевые точки для построения: $(-1, 1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 4)$.

в) Раскроем модули в условиях, чтобы определить промежутки для каждой функции.

• Условие $|x| \ge 1$ эквивалентно совокупности $x \ge 1$ или $x \le -1$.
• Условие $|x| < 1$ эквивалентно двойному неравенству $-1 < x < 1$.

Таким образом, функцию можно переписать в виде: $ y = \begin{cases} x, & \text{при } x \le -1 \\ x^3, & \text{при } -1 < x < 1 \\ x, & \text{при } x \ge 1 \end{cases} $

1. На промежутках $x \le -1$ и $x \ge 1$ строим график функции $y = x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

• Для $x \le -1$: графиком является луч, начинающийся в точке $(-1, -1)$ (включительно) и идущий влево и вниз.
• Для $x \ge 1$: графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 1)$ (включительно) и идущий вправо и вверх.

2. На интервале $-1 < x < 1$ строим график функции $y = x^3$. Это кубическая парабола.

• График проходит через начало координат $(0, 0)$.
• На границах интервала: при $x \to -1$, $y \to (-1)^3 = -1$; при $x \to 1$, $y \to 1^3 = 1$. Точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ являются выколотыми для этой части графика.
• Контрольные точки: $(0.5, 0.125)$, $(-0.5, -0.125)$.

Графиком является центральная часть кубической параболы между точками $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

Соединим все части. В точках $x=-1$ и $x=1$ происходит "стыковка" графика. В точке $x=-1$ луч $y=x$ приходит в точку $(-1, -1)$, и к этой же точке стремится график $y=x^3$. Аналогично в точке $x=1$. Таким образом, итоговый график является непрерывным.

Ответ: График функции является непрерывной линией. Он состоит из двух лучей прямой $y=x$ (для $x \le -1$ и $x \ge 1$) и фрагмента кубической параболы $y=x^3$ между ними (для $-1 < x < 1$). График симметричен относительно начала координат. Ключевые точки: $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$.