Номер 491, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 491, страница 146.

491 Известно, что $y = x^2 + 2x$. Составьте таблицу соответственных значений $x$ и $y$ и постройте по точкам график этой зависимости. Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Для решения задачи, заданной функцией $y = x^2 + 2x$, выполним последовательно все требуемые действия.

Составьте таблицу соответственных значений x и y

Чтобы составить таблицу, сначала определим ключевую точку графика — вершину параболы, так как данная функция является квадратичной. Уравнение имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a=1$ и $b=2$. Координата $x$ вершины находится по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$.

$x_v = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$

Соответствующая координата $y$ вершины:

$y_v = (-1)^2 + 2(-1) = 1 - 2 = -1$

Вершина параболы находится в точке $(-1, -1)$. Теперь составим таблицу, выбрав значения $x$ симметрично относительно вершины, чтобы получить наглядное представление о форме графика.

$x$	-4	-3	-2	-1	0	1	2
$y$	8	3	0	-1	0	3	8

и постройте по точкам график этой зависимости.

Для построения графика на координатной плоскости $Oxy$ отметим точки из таблицы: $(-4, 8)$, $(-3, 3)$, $(-2, 0)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 3)$ и $(2, 8)$. Затем соединим эти точки плавной кривой. Эта кривая будет симметрична относительно вертикальной прямой $x = -1$ (оси симметрии параболы), что помогает в построении.

Вы получили уже знакомую вам линию. Какую?

Полученная в результате построения линия является параболой. Это следует из того, что исходная зависимость $y = x^2 + 2x$ — это квадратичная функция, графиком которой всегда является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

Это также можно подтвердить, преобразовав уравнение к каноническому виду $y=a(x-h)^2+k$ путем выделения полного квадрата:

$y = x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$

Эта форма наглядно показывает, что график является стандартной параболой $y=x^2$, сдвинутой на 1 единицу влево по оси абсцисс и на 1 единицу вниз по оси ординат, с вершиной в точке $(-1, -1)$.

Ответ: Построенная по точкам линия является параболой.