Номер 3, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 3, страница 145.

Используя рисунок 5.34, опишите свойства кубической параболы.

$y = x^3$

Рис. 5.34

Ниже представлены свойства функции $y = x^3$ (кубическая парабола), определенные на основе анализа ее графика.

1. Область определения

Функция определена для всех действительных чисел, так как выражение $x^3$ имеет смысл при любом значении $x$. График простирается бесконечно влево и вправо по оси абсцисс.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений

Функция может принимать любые действительные значения, так как ее график простирается бесконечно вверх и вниз по оси ординат.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность/нечетность

Функция является нечетной, так как ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$). Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Например, как видно из графика, точкам $x=2$ и $x=-2$ соответствуют значения $y=8$ и $y=-8$.
Ответ: нечетная.

4. Нули функции

Функция обращается в ноль в той точке, где ее график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Это происходит в начале координат.
Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства

Из графика видно, что при $x > 0$ значения функции положительны (график лежит выше оси $Ox$), а при $x < 0$ значения функции отрицательны (график лежит ниже оси $Ox$).
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

6. Промежутки монотонности

При увеличении значения аргумента $x$ от $-\infty$ до $+\infty$ значение функции $y$ также постоянно увеличивается. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения

Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, она не имеет точек локального максимума или минимума (экстремумов). Поскольку область значений функции — все действительные числа, она не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Ответ: экстремумов, наибольшего и наименьшего значений нет.