Номер 481, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Графики. Глава 5. Координаты и графики - номер 481, страница 142.

481 Изобразите на координатной плоскости множество точек, удовлетворяющих условиям:

а) $y = x$ и $-2 \le x \le 3$;

б) $y - x = 0$ и $-1 \le x \le 1$;

в) $y = -x$ и $-4 \le x \le 4$;

г) $x + y = 0$ и $2 \le y \le 5$;

д) $|x| = |y|$ и $-1 \le x \le 1$;

е) $|y| = |x|$ и $-3 \le x \le 3$.

а) Условие состоит из уравнения $y=x$ и неравенства $-2 \le x \le 3$. Уравнение $y=x$ задает прямую, которая является биссектрисой первого и третьего координатных углов. Неравенство $-2 \le x \le 3$ означает, что из всех точек этой прямой нужно выбрать только те, абсциссы которых лежат в промежутке от -2 до 3 включительно. Таким образом, искомое множество точек — это отрезок прямой.

Найдем координаты концов этого отрезка, подставив граничные значения $x$ в уравнение прямой:
При $x = -2$, $y = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, -2)$.
При $x = 3$, $y = 3$. Координаты второй конечной точки: $(3, 3)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-2, -2)$ и $(3, 3)$.

б) Условие состоит из уравнения $y-x=0$ и неравенства $-1 \le x \le 1$. Уравнение $y-x=0$ эквивалентно уравнению $y=x$. Это та же прямая, что и в пункте а). Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает абсциссы точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка:
При $x = -1$, $y = -1$. Координаты первой конечной точки: $(-1, -1)$.
При $x = 1$, $y = 1$. Координаты второй конечной точки: $(1, 1)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=x$ с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.

в) Условие состоит из уравнения $y=-x$ и неравенства $-4 \le x \le 4$. Уравнение $y=-x$ задает прямую, которая является биссектрисой второго и четвертого координатных углов. Неравенство $-4 \le x \le 4$ ограничивает абсциссы точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка:
При $x = -4$, $y = -(-4) = 4$. Координаты первой конечной точки: $(-4, 4)$.
При $x = 4$, $y = -4$. Координаты второй конечной точки: $(4, -4)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-4, 4)$ и $(4, -4)$.

г) Условие состоит из уравнения $x+y=0$ и неравенства $2 \le y \le 5$. Уравнение $x+y=0$ эквивалентно уравнению $y=-x$. Это та же прямая, что и в пункте в). Неравенство $2 \le y \le 5$ ограничивает ординаты точек на этой прямой.

Найдем координаты концов отрезка, подставляя граничные значения $y$ в уравнение $x=-y$:
При $y=2$, $x = -2$. Координаты первой конечной точки: $(-2, 2)$.
При $y=5$, $x = -5$. Координаты второй конечной точки: $(-5, 5)$.

Ответ: Отрезок прямой $y=-x$ с концами в точках $(-5, 5)$ и $(-2, 2)$.

д) Условие состоит из уравнения $|x|=|y|$ и неравенства $-1 \le x \le 1$. Уравнение $|x|=|y|$ равносильно совокупности двух уравнений: $y=x$ и $y=-x$. Графиком этого уравнения является пара пересекающихся прямых (биссектрисы координатных углов). Неравенство $-1 \le x \le 1$ ограничивает искомые точки по оси абсцисс.

Рассмотрим каждую прямую отдельно:
1. Для прямой $y=x$ с учетом условия $-1 \le x \le 1$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$.
2. Для прямой $y=-x$ с учетом условия $-1 \le x \le 1$ получаем отрезок с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.
Искомое множество точек является объединением этих двух отрезков.

Ответ: Объединение двух отрезков: одного с концами в точках $(-1, -1)$ и $(1, 1)$, и другого с концами в точках $(-1, 1)$ и $(1, -1)$.

е) Условие состоит из уравнения $|y|=|x|$ и неравенства $-3 \le x \le 3$. Уравнение $|y|=|x|$ идентично уравнению в пункте д) и задает пару прямых $y=x$ и $y=-x$. Неравенство $-3 \le x \le 3$ ограничивает искомые точки по оси абсцисс.

Рассмотрим каждую прямую отдельно:
1. Для прямой $y=x$ с учетом условия $-3 \le x \le 3$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, -3)$ и $(3, 3)$.
2. Для прямой $y=-x$ с учетом условия $-3 \le x \le 3$ получаем отрезок с концами в точках $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.
Искомое множество точек является объединением этих двух отрезков.

Ответ: Объединение двух отрезков: одного с концами в точках $(-3, -3)$ и $(3, 3)$, и другого с концами в точках $(-3, 3)$ и $(3, -3)$.