Номер 483, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.4. Графики. Глава 5. Координаты и графики - номер 483, страница 142.

483 На рисунке 5.32, а изображена прямая, которая является графиком зависимости $y = \frac{1}{2} x$ (см. задание 482). Перенесите этот рисунок в тетрадь и постройте в той же системе координат прямую, симметричную этой прямой относительно оси ординат. Найдите зависимость, связывающую координаты точек построенной прямой, и задайте её алгебраически.

a) б) Рис. 5.32

Построение прямой, симметричной относительно оси ординат

Исходная прямая задана уравнением $y = \frac{1}{2}x$. Симметрия графика функции относительно оси ординат (оси $y$) означает, что для каждой точки $(x, y)$, принадлежащей исходному графику, на симметричном графике будет находиться точка с координатами $(-x, y)$. Другими словами, координата $y$ не изменяется, а координата $x$ меняет свой знак на противоположный.

Чтобы построить новую прямую, найдем симметричные точки для нескольких точек исходной прямой:

• Возьмем точку $A(2, 1)$ на исходной прямой (поскольку $1 = \frac{1}{2} \cdot 2$). Симметричная ей точка будет $A'(-2, 1)$.
• Возьмем точку $B(-4, -2)$ на исходной прямой (поскольку $-2 = \frac{1}{2} \cdot (-4)$). Симметричная ей точка будет $B'(4, -2)$.
• Начало координат, точка $O(0, 0)$, также лежит на исходной прямой. Симметричная ей точка $O'(-0, 0)$ совпадает с ней. Это означает, что новая прямая тоже проходит через начало координат.

Проведя прямую через полученные точки $A'(-2, 1)$, $B'(4, -2)$ и $O(0, 0)$, мы получим искомый график.

Ответ: Для построения симметричной прямой необходимо для нескольких точек исходной прямой с координатами $(x, y)$ найти соответствующие им симметричные точки с координатами $(-x, y)$ и провести через них новую прямую.

Нахождение зависимости и её алгебраическая запись

Требуется найти уравнение, которое связывает координаты $x$ и $y$ для всех точек на построенной прямой.

Пусть точка $(x_0, y_0)$ принадлежит исходной прямой, то есть для нее выполняется равенство $y_0 = \frac{1}{2}x_0$.
Точка $(x, y)$, симметричная ей относительно оси ординат, имеет координаты $x = -x_0$ и $y = y_0$.

Наша задача — найти связь между $x$ и $y$. Для этого выразим $x_0$ и $y_0$ через $x$ и $y$ из соотношений симметрии:
$x_0 = -x$
$y_0 = y$

Теперь подставим эти выражения в уравнение исходной прямой $y_0 = \frac{1}{2}x_0$:
$y = \frac{1}{2}(-x)$

Упростив выражение, получаем итоговое уравнение для новой прямой:
$y = -\frac{1}{2}x$

Это и есть искомая зависимость, заданная алгебраически.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}x$.