Страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Как называется график зависимости, заданной равенством $y = x^2$? Используя рисунок 5.33, опишите свойства этой линии.

График зависимости, заданной равенством $y = x^2$, называется параболой.

Хотя рисунок 5.33 не представлен, мы можем описать стандартные свойства этой линии на основе её уравнения.

Основные свойства параболы $y = x^2$:

• Вершина и направление ветвей: Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0; 0)$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1).
• Ось симметрии: Парабола симметрична относительно оси ординат (оси $y$). Это означает, что для любого значения $x$ значения функции для $x$ и $-x$ равны: $f(x) = x^2$ и $f(-x) = (-x)^2 = x^2$. Ось $y$ (уравнение $x=0$) является осью симметрии.
• Область определения: Функция определена для всех действительных значений $x$. Записывается как $D(y): x \in (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y$ может принимать любые значения от 0 до плюс бесконечности. Записывается как $E(y): y \in [0; +\infty)$.
• Нули функции: Функция равна нулю только в одной точке: $y = 0$ при $x = 0$. Это означает, что график пересекает ось абсцисс (ось $x$) в начале координат.
• Промежутки знакопостоянства: Функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x$, кроме $x = 0$. То есть, $y > 0$ на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Функция никогда не принимает отрицательных значений.
• Промежутки монотонности: Функция убывает на промежутке от минус бесконечности до нуля, то есть при $x \in (-\infty; 0]$. Функция возрастает на промежутке от нуля до плюс бесконечности, то есть при $x \in [0; +\infty)$. Точка $x=0$ является точкой минимума функции.

Ответ: График зависимости, заданной равенством $y = x^2$, называется параболой. Основные свойства этой линии: вершина находится в точке $(0;0)$, ветви направлены вверх, график симметричен относительно оси $y$, функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$, область значений функции — $[0; +\infty)$.

☐ Точки A и B принадлежат параболе, заданной равенством $y=x^2$. Абсцисса точки A равна 5, абсцисса точки B равна -7. Назовите ординаты этих точек.

Поскольку точки A и B принадлежат параболе, их координаты должны удовлетворять уравнению параболы $y = x^2$. Чтобы найти ординату (координату y) каждой точки, необходимо подставить ее известную абсциссу (координату x) в это уравнение.

Ордината точки A

Абсцисса точки A равна 5. Подставим это значение в уравнение функции:

$y_A = 5^2 = 25$

Таким образом, ордината точки A равна 25.

Ответ: 25

Ордината точки B

Абсцисса точки B равна -7. Подставим это значение в уравнение функции:

$y_B = (-7)^2 = 49$

Таким образом, ордината точки B равна 49.

Ответ: 49

Используя рисунок 5.34, опишите свойства кубической параболы.

$y = x^3$

Рис. 5.34

Ниже представлены свойства функции $y = x^3$ (кубическая парабола), определенные на основе анализа ее графика.

1. Область определения

Функция определена для всех действительных чисел, так как выражение $x^3$ имеет смысл при любом значении $x$. График простирается бесконечно влево и вправо по оси абсцисс.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Область значений

Функция может принимать любые действительные значения, так как ее график простирается бесконечно вверх и вниз по оси ординат.
Ответ: $E(y) = (-\infty; +\infty)$.

3. Четность/нечетность

Функция является нечетной, так как ее график симметричен относительно начала координат (точки $(0;0)$). Для любого $x$ из области определения выполняется равенство $y(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -y(x)$. Например, как видно из графика, точкам $x=2$ и $x=-2$ соответствуют значения $y=8$ и $y=-8$.
Ответ: нечетная.

4. Нули функции

Функция обращается в ноль в той точке, где ее график пересекает ось абсцисс ($Ox$). Это происходит в начале координат.
Ответ: $y=0$ при $x=0$.

5. Промежутки знакопостоянства

Из графика видно, что при $x > 0$ значения функции положительны (график лежит выше оси $Ox$), а при $x < 0$ значения функции отрицательны (график лежит ниже оси $Ox$).
Ответ: $y > 0$ при $x \in (0; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 0)$.

6. Промежутки монотонности

При увеличении значения аргумента $x$ от $-\infty$ до $+\infty$ значение функции $y$ также постоянно увеличивается. Это означает, что функция является строго возрастающей на всей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$.

7. Экстремумы, наибольшее и наименьшее значения

Так как функция монотонно возрастает на всей области определения, она не имеет точек локального максимума или минимума (экстремумов). Поскольку область значений функции — все действительные числа, она не ограничена ни сверху, ни снизу и, следовательно, не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
Ответ: экстремумов, наибольшего и наименьшего значений нет.

Зависимость задана равенством $y = |x|$. Как иначе можно задать эту зависимость? Опираясь на рисунок 5.35, опишите её график.

Рис. 5.35

Как иначе можно задать эту зависимость?

Зависимость $y = |x|$ можно задать иначе, используя определение модуля числа. Модуль (или абсолютная величина) числа $x$ равен самому числу, если оно неотрицательное ($x \ge 0$), и числу, ему противоположному ($-x$), если оно отрицательное ($x < 0$).

Таким образом, эту зависимость можно представить в виде кусочно-заданной функции:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

Это означает, что для всех неотрицательных значений аргумента $x$ значение функции $y$ совпадает с $x$, а для всех отрицательных значений $x$ значение функции $y$ равно $-x$.

Ответ: Зависимость можно задать в виде кусочной функции: $y = x$, если $x \ge 0$, и $y = -x$, если $x < 0$.

Опираясь на рисунок 5.35, опишите её график.

График функции $y = |x|$, изображенный на рисунке, обладает следующими свойствами:

1. График состоит из двух лучей (частей прямых), которые выходят из одной общей точки — начала координат $(0, 0)$. Эта точка является вершиной графика и его точкой минимума.

2. Для всех неотрицательных значений $x$ ($x \ge 0$), график совпадает с прямой $y = x$. Этот луч расположен в первой координатной четверти и является её биссектрисой (делит угол пополам).

3. Для всех отрицательных значений $x$ ($x < 0$), график совпадает с прямой $y = -x$. Этот луч расположен во второй координатной четверти и также является её биссектрисой.

4. Весь график целиком расположен в верхней полуплоскости (в первом и втором квадрантах), так как значение $y$ (модуль числа) никогда не бывает отрицательным, то есть $y \ge 0$.

5. График симметричен относительно оси ординат (оси $y$). Это означает, что для противоположных значений аргумента $x$ и $-x$ значения функции одинаковы: $|x| = |-x|$. Такие функции называются четными.

Ответ: График функции $y = |x|$ представляет собой объединение двух лучей, выходящих из начала координат. Один луч является биссектрисой первого координатного угла (задается уравнением $y = x$ при $x \ge 0$), а второй луч — биссектрисой второго координатного угла (задается уравнением $y = -x$ при $x < 0$). График расположен в верхней полуплоскости и симметричен относительно оси $y$.