Страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

467 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют двойному неравенству:

а) $-12 \le x \le 8;$

б) $1,5 < y < 2;$

в) $-5,5 \le x \le -5;$

г) $-0,5 \le y \le 1,5.$

а) $-12 \le x \le 8$

Данное двойное неравенство задает множество точек на координатной плоскости, абсцисса (координата $x$) которых находится в промежутке от $-12$ до $8$ включительно. При этом ордината (координата $y$) может быть любым действительным числом. Геометрически это множество представляет собой вертикальную полосу, ограниченную двумя прямыми: $x = -12$ и $x = 8$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), обе граничные прямые включаются в искомое множество. На графике их следует изображать сплошными линиями. Область между этими прямыми, включая сами прямые, является решением.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой вертикальную полосу, расположенную между сплошными прямыми $x = -12$ и $x = 8$ (включая эти прямые).

б) $1,5 < y < 2$

Это двойное неравенство задает множество точек, ордината (координата $y$) которых строго больше $1,5$ и строго меньше $2$. Абсцисса (координата $x$) может принимать любое действительное значение. Геометрически это множество представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную двумя прямыми: $y = 1,5$ и $y = 2$. Поскольку неравенство строгое (<), граничные прямые не включаются в искомое множество. На графике их следует изображать пунктирными (штриховыми) линиями. Область между этими прямыми, не включая сами прямые, является решением.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой горизонтальную полосу, расположенную между пунктирными прямыми $y = 1,5$ и $y = 2$ (не включая эти прямые).

в) $-5,5 \le x \le -5$

Данное двойное неравенство определяет множество точек, абсцисса (координата $x$) которых находится в промежутке от $-5,5$ до $-5$ включительно. Ордината (координата $y$) может быть любой. Это множество является вертикальной полосой, ограниченной прямыми $x = -5,5$ и $x = -5$. Так как неравенство нестрогое ($\le$), обе граничные прямые являются частью решения и изображаются сплошными линиями. Решением является область между этими прямыми, включая их.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой вертикальную полосу, расположенную между сплошными прямыми $x = -5,5$ и $x = -5$ (включая эти прямые).

г) $-0,5 \le y \le 1,5$

Это двойное неравенство задает множество точек, ордината (координата $y$) которых находится в промежутке от $-0,5$ до $1,5$ включительно. Абсцисса (координата $x$) может быть любой. Геометрически это множество представляет собой горизонтальную полосу, ограниченную прямыми $y = -0,5$ и $y = 1,5$. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), обе граничные прямые включаются в искомое множество и изображаются сплошными линиями. Решением является область между этими прямыми и сами прямые.

Ответ: Множество точек, удовлетворяющих неравенству, представляет собой горизонтальную полосу, расположенную между сплошными прямыми $y = -0,5$ и $y = 1,5$ (включая эти прямые).

468 Изобразите на координатной плоскости множество точек, у которых:

a) $-1 \le x \le 4$ и $-2 \le y \le 3$;

б) $0 \le x \le 10$ и $0 \le y \le 10$.

а) Данные неравенства $-1 \le x \le 4$ и $-2 \le y \le 3$ определяют множество точек $(x, y)$ на координатной плоскости.
Первое неравенство, $-1 \le x \le 4$, задает все точки, расположенные между вертикальными прямыми $x = -1$ и $x = 4$, включая сами эти прямые. Геометрически это бесконечная вертикальная полоса.
Второе неравенство, $-2 \le y \le 3$, задает все точки, расположенные между горизонтальными прямыми $y = -2$ и $y = 3$, включая и эти прямые. Геометрически это бесконечная горизонтальная полоса.
Чтобы удовлетворить обоим условиям одновременно, точка должна находиться в пересечении этих двух полос. Пересечение вертикальной и горизонтальной полос образует прямоугольник.
Вершины этого прямоугольника находятся в точках пересечения граничных прямых: $(-1, -2)$, $(4, -2)$, $(4, 3)$ и $(-1, 3)$. Поскольку неравенства нестрогие (содержат знак $\le$), искомое множество включает как стороны прямоугольника, так и все точки внутри него.

Ответ: Прямоугольник, ограниченный прямыми $x = -1$, $x = 4$, $y = -2$, $y = 3$. Его вершины находятся в точках с координатами $(-1, -2)$, $(4, -2)$, $(4, 3)$ и $(-1, 3)$.

б) Аналогично, рассмотрим систему неравенств $0 \le x \le 10$ и $0 \le y \le 10$.
Неравенство $0 \le x \le 10$ задает вертикальную полосу, ограниченную осью ординат ($x=0$) и прямой $x=10$.
Неравенство $0 \le y \le 10$ задает горизонтальную полосу, ограниченную осью абсцисс ($y=0$) и прямой $y=10$.
Искомое множество точек является пересечением этих двух полос. В данном случае, поскольку длина и ширина области одинаковы (от 0 до 10), фигурой является квадрат. Этот квадрат расположен в первой координатной четверти.
Вершины этого квадрата имеют координаты: $(0, 0)$ (начало координат), $(10, 0)$, $(10, 10)$ и $(0, 10)$. Нестрогие неравенства означают, что границы квадрата и его внутренняя область включены в множество.

Ответ: Квадрат с вершинами в точках $(0, 0)$, $(10, 0)$, $(10, 10)$ и $(0, 10)$, расположенный в первой координатной четверти.

469 Опишите на алгебраическом языке области координатной плоскости, изображённые на рисунке 5.26, а–е.

а) $x \geq -3$

б) $y \leq 0$

в) $x \leq 2$

г) $1 \leq y \leq 2$

д) $x \geq -2$, $y \leq 0$

е) $-2 \leq x \leq 2$, $-1 \leq y \leq 1$

Рис. 5.26

а)

На рисунке заштрихована область, которая представляет собой полуплоскость, расположенную справа от вертикальной прямой $x = -3$. Линия границы $x = -3$ сплошная, что означает, что точки на самой прямой включены в область. Следовательно, для любой точки $(x, y)$ из этой области координата $x$ должна быть больше или равна $-3$. Ограничений для координаты $y$ нет.

Ответ: $x \ge -3$.

б)

Заштрихованная область — это полуплоскость, находящаяся ниже горизонтальной прямой $y = 0$ (оси абсцисс). Граница $y = 0$ изображена сплошной линией, поэтому точки на ней принадлежат области. Это означает, что координата $y$ для любой точки из данной области должна быть меньше или равна $0$. Ограничений для координаты $x$ нет.

Ответ: $y \le 0$.

в)

Заштрихованная область является полуплоскостью, расположенной справа от вертикальной прямой $x = 1$. Граница $x = 1$ сплошная, следовательно, точки на прямой включены в область. Для любой точки $(x, y)$ из этой области координата $x$ должна быть больше или равна $1$. Ограничений для координаты $y$ нет.

Ответ: $x \ge 1$.

г)

На рисунке изображена горизонтальная полоса, которая находится между прямыми $y = 0$ (ось абсцисс) и $y = 2$. Обе границы сплошные, поэтому точки на этих прямых принадлежат области. Координата $y$ для любой точки из этой полосы должна быть больше или равна $0$ и одновременно меньше или равна $2$. Ограничений для координаты $x$ нет.

Ответ: $0 \le y \le 2$.

д)

Заштрихованная область представляет собой квадрат. Он ограничен по горизонтали (по оси $x$) прямыми $x = -2$ и $x = 0$ (ось ординат). По вертикали (по оси $y$) он ограничен прямыми $y = -2$ и $y = 0$ (ось абсцисс). Все границы сплошные, что означает, что точки на границах включены в область. Это можно описать системой из двух двойных неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 0 \\ -2 \le y \le 0 \end{cases}$.

е)

Заштрихованная область представляет собой прямоугольник. Он ограничен по горизонтали (по оси $x$) прямыми $x = -2$ и $x = 2$. По вертикали (по оси $y$) он ограничен прямыми $y = -1$ и $y = 1$. Все границы сплошные, поэтому точки на границах включены в область. Координаты $(x, y)$ любой точки из этой области должны удовлетворять системе из двух двойных неравенств.

Ответ: $\begin{cases} -2 \le x \le 2 \\ -1 \le y \le 1 \end{cases}$.

470 Неравенства $x \ge 0$ и $y \ge 0$ задают первую координатную четверть (рис. 5.27) — все её точки имеют неотрицательные координаты. Опишите на алгебраическом языке каждую из остальных трёх координатных четвертей.

Вторая координатная четверть: $x \le 0, y \ge 0$

Третья координатная четверть: $x \le 0, y \le 0$

Четвертая координатная четверть: $x \ge 0, y \le 0$

Рис. 5.27

Координатная плоскость делится осями координат на четыре квадранта, или четверти. Согласно условию, первая координатная четверть, включая ее границы (положительные полуоси и начало координат), задается системой неравенств $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Опишем аналогичным образом остальные три четверти, включая их границы (соответствующие полуоси).

Эта четверть расположена слева от оси ординат (оси $y$) и выше оси абсцисс (оси $x$). Для любой точки $(x; y)$ в этой области абсцисса $x$ является неположительной (то есть отрицательной или равной нулю), а ордината $y$ — неотрицательной (то есть положительной или равной нулю). На алгебраическом языке это выражается следующими неравенствами.

Ответ: $x \le 0$ и $y \ge 0$.

Эта четверть расположена слева от оси ординат и ниже оси абсцисс. Для любой точки $(x; y)$ в этой области обе координаты являются неположительными. То есть и абсцисса $x$, и ордината $y$ меньше или равны нулю.

Ответ: $x \le 0$ и $y \le 0$.

Эта четверть расположена справа от оси ординат и ниже оси абсцисс. Для любой точки $(x; y)$ в этой области абсцисса $x$ является неотрицательной, а ордината $y$ — неположительной. Это означает, что $x$ больше или равен нулю, а $y$ меньше или равен нулю.

Ответ: $x \ge 0$ и $y \le 0$.

471 Задайте алгебраически множества точек, изображённые на рисунке 5.28, а, б.

а) ${ (x, y) \mid x \le 1, y \le 0 }$

б) ${ (x, y) \mid x \ge -1, y \ge 1 }$

Рис. 5.28

a)

На рисунке 5.28, а изображено множество точек, расположенных в координатной плоскости. Чтобы задать это множество алгебраически, необходимо определить условия, которым удовлетворяют координаты $(x, y)$ любой точки из заштрихованной области.

Заштрихованная область ограничена двумя лучами:

1. Вертикальный луч, являющийся частью прямой $x = 1$. Область находится слева от этой прямой, включая саму прямую (линия сплошная). Следовательно, для всех точек множества координата $x$ должна быть меньше или равна 1. Это записывается неравенством: $x \le 1$.
2. Горизонтальный луч, являющийся частью оси абсцисс (прямой $y = 0$). Область находится ниже этой прямой, включая саму прямую. Следовательно, для всех точек множества координата $y$ должна быть меньше или равна 0. Это записывается неравенством: $y \le 0$.

Таким образом, множество точек, изображенное на рисунке, представляет собой пересечение двух полуплоскостей. Это множество задается системой из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} x \le 1, \\ y \le 0. \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x \le 1, \\ y \le 0. \end{cases} $

б)

На рисунке 5.28, б изображено множество точек, расположенных во втором координатном квадранте. Чтобы задать это множество алгебраически, определим условия для координат $(x, y)$ любой точки из заштрихованной области.

Заштрихованная область ограничена двумя лучами:

1. Вертикальный луч, являющийся частью прямой $x = -1$. Область находится слева от этой прямой, включая саму прямую (линия сплошная). Следовательно, для всех точек множества координата $x$ должна быть меньше или равна -1. Это записывается неравенством: $x \le -1$.
2. Горизонтальный луч, являющийся частью оси абсцисс (прямой $y = 0$). Область находится выше этой прямой, включая саму прямую. Следовательно, для всех точек множества координата $y$ должна быть больше или равна 0. Это записывается неравенством: $y \ge 0$.

Множество точек, изображенное на рисунке, задается системой из двух неравенств, которые должны выполняться одновременно:

$ \begin{cases} x \le -1, \\ y \ge 0. \end{cases} $

Ответ: $ \begin{cases} x \le -1, \\ y \ge 0. \end{cases} $