Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

447 РАБОТАЕМ С СИМВОЛАМИ На рисунке 5.9, а, б изображены числовые промежутки, которые называют полуинтервалами. Запишите соответствующие им неравенства.

а) $-5 < x \le 3$

б) $-2 \le x < 7.5$

Рис. 5.9

а) На данном рисунке изображен числовой промежуток (полуинтервал). Левая граница промежутка — число -5 — отмечена выколотой (пустой) точкой. Это означает, что сама точка -5 не входит в данный промежуток. Для обозначения этого используется знак строгого неравенства. Правая граница — число 3 — отмечена закрашенной точкой. Это означает, что число 3 входит в промежуток, что соответствует знаку нестрогого неравенства. Таким образом, искомое неравенство описывает все числа $x$, которые строго больше -5 и при этом меньше или равны 3. В виде двойного неравенства это записывается так: $-5 < x \leq 3$.
Ответ: $-5 < x \leq 3$

б) На этом рисунке также изображен полуинтервал. Левая граница промежутка — число -2 — отмечена закрашенной точкой, что означает включение этого числа в промежуток. Для этого используется знак нестрогого неравенства. Правая граница — число 7,5 — отмечена выколотой (пустой) точкой, что означает, что это число не входит в промежуток. Здесь используется знак строгого неравенства. Следовательно, неравенство описывает все числа $x$, которые больше или равны -2 и строго меньше 7,5. В виде двойного неравенства это записывается так: $-2 \leq x < 7,5$.
Ответ: $-2 \leq x < 7,5$

448 Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3. Сколько существует таких полуинтервалов?

Полуинтервал — это числовой промежуток, у которого один из концов принадлежит промежутку (включен), а другой — не принадлежит (не включен). Для точек 0 и 0,3 существует два возможных полуинтервала.

Запишите с помощью двойных неравенств и изобразите на координатной прямой полуинтервалы от точки 0 до точки 0,3.

1. Первый полуинтервал включает точку 0, но не включает точку 0,3. Это промежуток $ [0; 0,3) $. В виде двойного неравенства это записывается так: $ 0 \le x < 0,3 $.

Изображение на координатной прямой:

2. Второй полуинтервал не включает точку 0, но включает точку 0,3. Это промежуток $ (0; 0,3] $. В виде двойного неравенства это записывается так: $ 0 < x \le 0,3 $.

Изображение на координатной прямой:

Ответ: Полуинтервалы записываются в виде двойных неравенств: $ 0 \le x < 0,3 $ и $ 0 < x \le 0,3 $. Их изображения на координатной прямой представлены выше.

Сколько существует таких полуинтервалов?

Как было показано выше, между двумя различными точками можно определить ровно два полуинтервала: один, включающий левую точку и исключающий правую, и второй, исключающий левую точку и включающий правую.

Ответ: Существует 2 таких полуинтервала.

449 Изобразите на координатной прямой указанные промежутки (используйте для этого разные цветные карандаши). Найдите объединение и пересечение этих промежутков:

а) $-1 \le x \le 7, 1 \le x \le 10;$

б) $-5 \le x \le -2, -2 \le x \le 5;$

в) $0 < x < 7, 2 \le x < 7;$

г) $-8 \le x < -4, -4 < x \le 0.$

а)

Даны два промежутка: $-1 \le x \le 7$ и $1 \le x \le 10$. В интервальной записи это отрезки $[-1, 7]$ и $[1, 10]$.

Изобразим эти промежутки на координатной прямой. Для первого промежутка $[-1, 7]$ отметим точки $-1$ и $7$ закрашенными (включенными), так как неравенства нестрогие, и заштрихуем область между ними. Для второго промежутка $[1, 10]$ аналогично отметим закрашенными точки $1$ и $10$ и заштрихуем область между ними, используя другой цвет или направление штриховки.

Пересечение промежутков ($[-1, 7] \cap [1, 10]$) — это их общая часть. На координатной прямой это область, где штриховки накладываются друг на друга. Эта область начинается в точке $1$ и заканчивается в точке $7$. Обе точки включены.

Пересечение: $[1, 7]$, что соответствует неравенству $1 \le x \le 7$.

Объединение промежутков ($[-1, 7] \cup [1, 10]$) — это вся область, покрытая хотя бы одной штриховкой. Она начинается от самой левой точки ($-1$) и заканчивается самой правой точкой ($10$).

Объединение: $[-1, 10]$, что соответствует неравенству $-1 \le x \le 10$.

Ответ: Пересечение: $[1, 7]$; Объединение: $[-1, 10]$.

б)

Даны два промежутка: $-5 \le x \le -2$ и $-2 \le x \le 5$. В интервальной записи это отрезки $[-5, -2]$ и $[-2, 5]$.

Изобразим их на координатной прямой. Для промежутка $[-5, -2]$ отметим точки $-5$ и $-2$ закрашенными и заштрихуем область между ними. Для промежутка $[-2, 5]$ отметим точки $-2$ и $5$ закрашенными и заштрихуем область между ними.

Пересечение ($[-5, -2] \cap [-2, 5]$) — это их общая часть. Промежутки имеют только одну общую точку: $-2$.

Пересечение: $\{-2\}$.

Объединение ($[-5, -2] \cup [-2, 5]$) — это вся заштрихованная область. Так как точка $-2$ принадлежит обоим промежуткам, они образуют сплошной отрезок от $-5$ до $5$.

Объединение: $[-5, 5]$, что соответствует неравенству $-5 \le x \le 5$.

Ответ: Пересечение: $\{-2\}$; Объединение: $[-5, 5]$.

в)

Даны два промежутка: $0 < x < 7$ и $2 \le x < 7$. В интервальной записи это $(0, 7)$ и $[2, 7)$.

Изобразим их на координатной прямой. Для промежутка $(0, 7)$ отметим точки $0$ и $7$ выколотыми (незакрашенными), так как неравенства строгие, и заштрихуем область между ними. Для промежутка $[2, 7)$ отметим точку $2$ закрашенной, а точку $7$ — выколотой, и заштрихуем область между ними.

Пересечение ($(0, 7) \cap [2, 7)$) — это их общая часть. Область пересечения начинается в точке $2$ (которая включена во второй промежуток и находится внутри первого) и заканчивается перед точкой $7$ (которая не включена ни в один из них).

Пересечение: $[2, 7)$, что соответствует неравенству $2 \le x < 7$.

Объединение ($(0, 7) \cup [2, 7)$) — это вся заштрихованная область. Второй промежуток $[2, 7)$ полностью содержится внутри первого $(0, 7)$. Следовательно, их объединением будет больший промежуток.

Объединение: $(0, 7)$, что соответствует неравенству $0 < x < 7$.

Ответ: Пересечение: $[2, 7)$; Объединение: $(0, 7)$.

г)

Даны два промежутка: $-8 \le x < -4$ и $-4 < x \le 0$. В интервальной записи это $[-8, -4)$ и $(-4, 0]$.

Изобразим их на координатной прямой. Для промежутка $[-8, -4)$ отметим точку $-8$ закрашенной, а точку $-4$ — выколотой. Для промежутка $(-4, 0]$ отметим точку $-4$ выколотой, а точку $0$ — закрашенной. Заштрихуем обе области.

Пересечение ($[-8, -4) \cap (-4, 0]$) — это их общая часть. Так как точка $-4$ не принадлежит ни одному из промежутков, у них нет общих точек. Следовательно, их пересечение пусто.

Пересечение: $\emptyset$ (пустое множество).

Объединение ($[-8, -4) \cup (-4, 0]$) — это вся заштрихованная область. Она состоит из двух отдельных частей, поскольку точка $-4$ не входит ни в одну из них. Таким образом, объединение — это два интервала.

Объединение: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$.

Ответ: Пересечение: $\emptyset$; Объединение: $[-8, -4) \cup (-4, 0]$.

450 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Какое утверждение неверно?

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6

Проанализируем каждое утверждение, чтобы определить, какое из них является неверным.

1) пересечение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Первое неравенство $x \le 1$ задает числовой промежуток $A = (-\infty, 1]$.
Второе неравенство $x \le 6$ задает числовой промежуток $B = (-\infty, 6]$.
Пересечением промежутков ($A \cap B$) является множество чисел, которые принадлежат обоим промежуткам одновременно. Это соответствует решению системы неравенств: $ \begin{cases} x \le 1 \\ x \le 6 \end{cases} $.
Решением этой системы является более сильное неравенство $x \le 1$, так как любое число, не превосходящее 1, автоматически не превосходит и 6. Таким образом, результатом пересечения является промежуток $(-\infty, 1]$.
В утверждении же сказано, что пересечение есть промежуток $x \le 6$. Следовательно, это утверждение неверно.

2) объединение промежутков, заданных неравенствами $x \le 1$ и $x \le 6$, есть промежуток $x \le 6$

Рассматриваем те же промежутки: $A = (-\infty, 1]$ и $B = (-\infty, 6]$.
Объединением промежутков ($A \cup B$) является множество чисел, которые принадлежат хотя бы одному из них. Это соответствует решению совокупности неравенств: $ \begin{bmatrix} x \le 1 \\ x \le 6 \end{bmatrix} $.
Поскольку промежуток $(-\infty, 1]$ полностью содержится в промежутке $(-\infty, 6]$ (является его подмножеством), их объединением будет больший из этих промежутков, то есть $(-\infty, 6]$.
В утверждении сказано, что объединение есть промежуток $x \le 6$. Следовательно, это утверждение верно.

Итак, в результате анализа было установлено, что первое утверждение неверно, а второе — верно. Вопрос задачи требует указать неверное утверждение.

Ответ: неверно утверждение 1).