Страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

1. Какие из чисел -3, -2, -1, 1, 2, 3 являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$?

Для того чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнения $x^2 + 2x - 3 = 0$, мы можем либо подставить каждое число в уравнение и проверить, выполняется ли равенство, либо решить уравнение и сравнить его корни с данными числами.

Способ 1: Подстановка чисел в уравнение

Корень уравнения — это значение переменной, при подстановке которого уравнение обращается в верное числовое равенство.

• Проверка числа -3:

  Подставим $x = -3$ в левую часть уравнения:

  $(-3)^2 + 2(-3) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0$.

  Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число -3 является корнем уравнения.

• Проверка числа -2:

  Подставим $x = -2$ в левую часть уравнения:

  $(-2)^2 + 2(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$.

  Получили $-3 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число -2 не является корнем уравнения.

• Проверка числа -1:

  Подставим $x = -1$ в левую часть уравнения:

  $(-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.

  Получили $-4 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число -1 не является корнем уравнения.

• Проверка числа 1:

  Подставим $x = 1$ в левую часть уравнения:

  $1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$.

  Получили $0 = 0$. Равенство верное, значит, число 1 является корнем уравнения.

• Проверка числа 2:

  Подставим $x = 2$ в левую часть уравнения:

  $2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$.

  Получили $5 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число 2 не является корнем уравнения.

• Проверка числа 3:

  Подставим $x = 3$ в левую часть уравнения:

  $3^2 + 2(3) - 3 = 9 + 6 - 3 = 12$.

  Получили $12 \neq 0$. Равенство неверное, значит, число 3 не является корнем уравнения.

Таким образом, из предложенного списка чисел только -3 и 1 являются корнями уравнения.

Способ 2: Решение квадратного уравнения

Решим уравнение $x^2 + 2x - 3 = 0$ и найдем все его корни. Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=1$, $b=2$, $c=-3$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Корнями уравнения являются числа 1 и -3. Сравнивая эти корни с предложенным списком чисел (-3, -2, -1, 1, 2, 3), мы видим, что оба найденных корня в нем присутствуют.

Ответ: -3 и 1.

2 $-8x = 3.2$.

2

Дано линейное уравнение с одной неизвестной: $ -8x = 3,2 $.

Цель состоит в том, чтобы найти значение переменной $x$. Для этого необходимо изолировать $x$ в одной части уравнения. В данном случае $x$ умножается на коэффициент $-8$. Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на этот коэффициент.

Разделим обе части уравнения на $-8$:

$ \frac{-8x}{-8} = \frac{3,2}{-8} $

В левой части $-8$ и $-8$ сокращаются, и остается $x$:

$ x = \frac{3,2}{-8} $

Теперь вычислим значение дроби. При делении положительного числа ($3,2$) на отрицательное ($-8$) результат будет отрицательным.

$ x = - (3,2 : 8) $

Выполняем деление:

$ 3,2 : 8 = 0,4 $

Следовательно, получаем:

$ x = -0,4 $

Чтобы убедиться в правильности решения, сделаем проверку. Подставим найденное значение $x = -0,4$ в исходное уравнение:

$ -8 \cdot (-0,4) = 3,2 $

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом:

$ 8 \cdot 0,4 = 3,2 $

$ 3,2 = 3,2 $

Равенство истинно, значит, корень уравнения найден верно.

Ответ: $-0,4$.

3 $\frac{2}{3}x = 6.$

3.

Данное уравнение представляет собой линейное уравнение с одной переменной $x$. Для его решения необходимо найти значение $x$.

Исходное уравнение: $3 \frac{2}{3} x = 6$

Шаг 1: Преобразование смешанного числа в неправильную дробь.
Смешанное число $3 \frac{2}{3}$ состоит из целой части (3) и дробной части ($\frac{2}{3}$). Чтобы преобразовать его в неправильную дробь, нужно умножить целую часть на знаменатель и прибавить к результату числитель. Знаменатель при этом остается прежним. $3 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{9 + 2}{3} = \frac{11}{3}$

Шаг 2: Подстановка полученной дроби в уравнение.
Теперь уравнение выглядит следующим образом: $\frac{11}{3} x = 6$

Шаг 3: Нахождение переменной $x$.
Чтобы найти $x$, необходимо разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на $\frac{11}{3}$. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь. Обратная дробь для $\frac{11}{3}$ — это $\frac{3}{11}$. $x = 6 \div \frac{11}{3}$ $x = 6 \cdot \frac{3}{11}$

Шаг 4: Вычисление значения $x$.
Умножим целое число 6 на дробь $\frac{3}{11}$: $x = \frac{6 \cdot 3}{11} = \frac{18}{11}$

Шаг 5: Преобразование неправильной дроби в смешанное число.
Полученный ответ $\frac{18}{11}$ является неправильной дробью (числитель больше знаменателя). Для удобства представим его в виде смешанного числа. Для этого разделим числитель 18 на знаменатель 11 с остатком: $18 \div 11 = 1$ и $7$ в остатке. Целая часть будет равна 1, остаток 7 станет новым числителем, а знаменатель 11 останется без изменений. $x = 1 \frac{7}{11}$

Проверка: Подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение: $3 \frac{2}{3} \cdot 1 \frac{7}{11} = \frac{11}{3} \cdot \frac{18}{11} = \frac{11 \cdot 18}{3 \cdot 11}$ Сокращаем 11 в числителе и знаменателе: $\frac{18}{3} = 6$ $6 = 6$ Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $1 \frac{7}{11}$.

4 $4 - 5x = 0.$

4

Дано линейное уравнение с одной переменной:

$4 - 5x = 0$

Для нахождения корня уравнения необходимо изолировать переменную $x$.

1. Перенесем постоянный член (число 4) из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак члена меняется на противоположный:

$-5x = 0 - 4$

$-5x = -4$

2. Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на -5:

$x = \frac{-4}{-5}$

При делении отрицательного числа на отрицательное результат будет положительным:

$x = \frac{4}{5}$

3. Чтобы получить окончательный ответ в виде десятичной дроби, разделим 4 на 5:

$x = 0.8$

Для проверки правильности решения можно подставить найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$4 - 5 \cdot (0.8) = 4 - 4 = 0$

$0 = 0$

Равенство верно, значит, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $0.8$

5 $10x + 7 = 3.$

5

Чтобы решить данное линейное уравнение, необходимо найти значение переменной $x$.

Исходное уравнение:

$10x + 7 = 3$

1. Первым шагом изолируем слагаемое с переменной $x$. Для этого перенесем число 7 из левой части уравнения в правую, изменив его знак на противоположный (операция вычитания).

$10x = 3 - 7$

2. Вычислим значение в правой части уравнения:

$10x = -4$

3. Теперь, чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 10.

$x = \frac{-4}{10}$

4. Полученную дробь можно представить в виде десятичного числа.

$x = -0.4$

Для проверки правильности решения подставим найденное значение $x$ в исходное уравнение:

$10 \cdot (-0.4) + 7 = 3$

$-4 + 7 = 3$

$3 = 3$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $-0.4$

6 $3 - 4x = x - 12.$

6

Для решения данного линейного уравнения необходимо найти значение переменной $x$. Исходное уравнение:

$3 - 4x = x - 12$

1. Сгруппируем все слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а все постоянные слагаемые (числа) — в другой. Для этого перенесем слагаемое $-4x$ из левой части уравнения в правую, изменив его знак на «+», а число $-12$ перенесем из правой части в левую, также изменив его знак на «+».

$3 + 12 = x + 4x$

2. Упростим обе части уравнения, выполнив сложение.

$15 = 5x$

3. Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5.

$x = \frac{15}{5}$

$x = 3$

4. Для уверенности в правильности результата выполним проверку. Подставим найденное значение $x=3$ в первоначальное уравнение:

$3 - 4(3) = 3 - 12$

$3 - 12 = -9$

$-9 = -9$

Поскольку левая и правая части уравнения равны, решение найдено верно.

Ответ: $3$

7 $(x + 7) - (3x + 5) = 2.$

Для решения уравнения $7(x + 7) - (3x + 5) = 2$ необходимо последовательно выполнить несколько шагов.

1. Раскрытие скобок.
Сначала распределим множитель 7 на каждый член в первых скобках. Затем раскроем вторые скобки, учитывая, что перед ними стоит знак минус, поэтому знаки всех членов внутри меняются на противоположные.

$7 \cdot x + 7 \cdot 7 - 3x - 5 = 2$

$7x + 49 - 3x - 5 = 2$

2. Приведение подобных слагаемых.
Сгруппируем и упростим члены с переменной $x$ и числовые константы в левой части уравнения.

$(7x - 3x) + (49 - 5) = 2$

$4x + 44 = 2$

3. Изолирование переменной.
Чтобы выделить член с $x$, перенесем число 44 из левой части в правую, изменив его знак на противоположный.

$4x = 2 - 44$

$4x = -42$

4. Нахождение значения $x$.
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4.

$x = \frac{-42}{4}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{-21}{2}$

Переведем в десятичную дробь для удобства:

$x = -10.5$

Проверка:
Подставим найденное значение $x = -10.5$ в исходное уравнение, чтобы убедиться в правильности решения.

$7(-10.5 + 7) - (3(-10.5) + 5) = 2$

$7(-3.5) - (-31.5 + 5) = 2$

$-24.5 - (-26.5) = 2$

$-24.5 + 26.5 = 2$

$2 = 2$

Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $x = -10.5$

8 $3(2x - 1) + 12 = x.$

Для решения данного линейного уравнения $3(2x - 1) + 12 = x$ необходимо последовательно его упростить.

1. Первым шагом раскроем скобки. Для этого умножим число 3 на каждый член внутри скобок $(2x - 1)$:

$3 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 12 = x$

В результате умножения получаем:

$6x - 3 + 12 = x$

2. Далее, приведем подобные слагаемые в левой части уравнения, то есть сложим числа -3 и 12:

$6x + 9 = x$

3. Теперь необходимо собрать все члены, содержащие переменную $x$, в одной части уравнения, а все постоянные члены (числа) — в другой. Для этого перенесем $x$ из правой части в левую (со сменой знака) и число 9 из левой части в правую (также со сменой знака):

$6x - x = -9$

4. Выполним вычитание в левой части:

$5x = -9$

5. Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 5:

$x = \frac{-9}{5}$

Данную дробь можно представить в виде десятичного числа:

$x = -1.8$

Проверка:

Чтобы убедиться в правильности решения, подставим найденное значение $x = -1.8$ в исходное уравнение:

$3(2(-1.8) - 1) + 12 = -1.8$

$3(-3.6 - 1) + 12 = -1.8$

$3(-4.6) + 12 = -1.8$

$-13.8 + 12 = -1.8$

$-1.8 = -1.8$

Равенство верно, следовательно, корень уравнения найден правильно.

Ответ: $x = -1.8$

9. $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$.

Для решения данного уравнения $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ необходимо избавиться от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 3 и 4.

НОК(3, 4) = 12.

Теперь умножим обе части уравнения на 12:
$12 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{x}{4}) = 7 \cdot 12$

Применим распределительный закон умножения к левой части уравнения:
$12 \cdot \frac{x}{3} + 12 \cdot \frac{x}{4} = 84$

Выполним сокращение дробей:
$4 \cdot x + 3 \cdot x = 84$
$4x + 3x = 84$

Сложим подобные слагаемые в левой части:
$7x = 84$

Чтобы найти значение $x$, разделим обе части уравнения на 7:
$x = \frac{84}{7}$
$x = 12$

Проверка:
Подставим найденное значение $x=12$ в исходное уравнение:
$\frac{12}{3} + \frac{12}{4} = 7$
$4 + 3 = 7$
$7 = 7$
Равенство верно, следовательно, решение найдено правильно.

Ответ: $12$

10 К Новому году учащиеся первого и второго классов сделали 150 ёлочных игрушек, причём второклассники сделали на 16 игрушек больше, чем первоклассники. Сколько игрушек сделали перво-к-лассники и второклассники по отдельности?

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Решение способом 1 (арифметический)

1. Если бы классы сделали игрушек поровну, то общее количество было бы меньше на 16. Узнаем это "уравненное" количество:

$150 - 16 = 134$ (игрушки)

2. Это количество (134) сделали бы два класса. Чтобы найти, сколько игрушек приходится на одну часть (на первоклассников), разделим результат на 2:

$134 \div 2 = 67$ (игрушек)

Столько игрушек сделали первоклассники.

3. Второклассники сделали на 16 игрушек больше. Найдем их количество:

$67 + 16 = 83$ (игрушки)

4. Проверка: $67 + 83 = 150$. Решение верное.

Ответ: первоклассники сделали 67 игрушек, второклассники – 83 игрушки.

Решение способом 2 (алгебраический)

1. Пусть $x$ — это количество игрушек, которое сделали первоклассники.

2. Тогда второклассники сделали $(x + 16)$ игрушек.

3. Сумма игрушек, сделанных обоими классами, равна 150. Составим уравнение:

$x + (x + 16) = 150$

4. Решим это уравнение:

$2x + 16 = 150$

$2x = 150 - 16$

$2x = 134$

$x = 134 \div 2$

$x = 67$

За $x$ мы принимали количество игрушек, сделанных первоклассниками. Значит, они сделали 67 игрушек.

5. Найдем, сколько игрушек сделали второклассники:

$67 + 16 = 83$ (игрушки)

Ответ: первоклассники сделали 67 игрушек, второклассники – 83 игрушки.

11 Купили 165 билетов в театр и цирк, причём билетов в театр в 2 раза больше, чем в цирк. Сколько купили театральных билетов и сколько билетов в цирк?

Для решения этой задачи введем переменную и составим уравнение.

Пусть $x$ — это количество билетов, купленных в цирк.

Согласно условию, билетов в театр купили в 2 раза больше, следовательно, их количество равно $2x$.

Всего было куплено 165 билетов. Составим уравнение, сложив количество билетов в цирк и в театр:

$x + 2x = 165$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$3x = 165$

$x = \frac{165}{3}$

$x = 55$

Мы нашли, что $x=55$. Зная это, можно ответить на вопросы задачи.

Сколько билетов в цирк?

Количество билетов в цирк равно $x$.

Ответ: 55 билетов в цирк.

Сколько купили театральных билетов?

Количество театральных билетов равно $2x$. Подставим найденное значение $x$ и вычислим:

$2 \cdot 55 = 110$

Ответ: 110 театральных билетов.

Проверка: сложим количество билетов: $55 + 110 = 165$. Общее количество совпадает с условием, значит, задача решена верно.

12 В седьмых классах школы учатся 48 человек, что составляет 8% всех учащихся школы. Сколько всего учеников в школе?

Для того чтобы найти общее количество учеников в школе, необходимо определить целое число (100%), зная его часть (48 человек) и соответствующий этой части процент (8%).

Пусть $x$ — это общее количество учеников в школе. Это число соответствует 100%.

Мы знаем, что 48 учеников составляют 8% от общего числа. На основе этих данных можно составить пропорцию:

• 48 учеников составляют 8%
• $x$ учеников составляют 100%

Математически эта пропорция записывается как:

$\frac{48}{8} = \frac{x}{100}$

Чтобы найти неизвестное $x$, мы можем выразить его из этого уравнения. Умножим обе части уравнения на 100:

$x = \frac{48 \times 100}{8}$

Теперь выполним вычисления:

$x = \frac{4800}{8}$

$x = 600$

Таким образом, общее количество учеников в школе составляет 600 человек.

Ответ: 600 учеников.

1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1?

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$

3) $x^2 - x - 2 = 0$

4) $x^2 + x - 2 = 0$

Чтобы определить, какому из предложенных уравнений соответствуют корни 2 и -1, можно воспользоваться теоремой Виета или проверить каждый вариант методом подстановки.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения (теорема Виета):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Вычислим их сумму и произведение:

Сумма: $S = x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1$
Произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$

Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:
Из $x_1 + x_2 = -p$ следует, что $1 = -p$, то есть $p = -1$.
Из $x_1 \cdot x_2 = q$ следует, что $q = -2$.

Подставим найденные коэффициенты в общую формулу $x^2 + px + q = 0$:
$x^2 + (-1)x + (-2) = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

Полученное уравнение соответствует варианту ответа 3). Для подтверждения можно проверить все варианты методом подстановки.

Способ 2: Проверка каждого варианта методом подстановки

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство верно.
Подставим $x = -1$: $(-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$. Равенство $6=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$. Равенство $12=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

3) $x^2 - x - 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Равенство верно.
Подставим $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Равенство верно.
Оба числа являются корнями данного уравнения.
Ответ: подходит.

4) $x^2 + x - 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 + 2 - 2 = 4$. Равенство $4=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

Таким образом, оба способа показывают, что правильным является уравнение $x^2 - x - 2 = 0$, которое представлено под номером 3.

2 Соотнесите каждое уравнение с числом его корней.

A) $x^2 = 4$

Б) $2x - (x - 3) = 0$

В) $|x| + 4 = 0$

1) один корень

2) два корня

3) нет корней

А) Рассмотрим уравнение $x^2 = 4$. Это квадратное уравнение. Чтобы найти его корни, необходимо извлечь квадратный корень из обеих частей уравнения. Получаем два возможных значения для $x$: $x = \sqrt{4}$ и $x = -\sqrt{4}$. Таким образом, у уравнения два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Это соответствует варианту 2) два корня.
Ответ: 2

Б) Рассмотрим уравнение $2x - (x - 3) = 0$. Это линейное уравнение. Упростим его, раскрыв скобки: $2x - x + 3 = 0$. Приведем подобные слагаемые: $x + 3 = 0$. Перенесем 3 в правую часть уравнения: $x = -3$. Уравнение имеет ровно один корень. Это соответствует варианту 1) один корень.
Ответ: 1

В) Рассмотрим уравнение $|x| + 4 = 0$. Выразим модуль $x$: $|x| = -4$. По определению, модуль (или абсолютная величина) любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $|x| \ge 0$. Так как -4 является отрицательным числом, равенство $|x| = -4$ невозможно ни при каком значении $x$. Следовательно, у данного уравнения нет корней. Это соответствует варианту 3) нет корней.
Ответ: 3

3 Решите уравнение $15 - x = 2(x - 30)$.

Для решения уравнения $15 - x = 2(x - 30)$ выполним следующие действия.

1. Раскроем скобки в правой части уравнения, умножив 2 на каждый член в скобках:

$15 - x = 2 \cdot x - 2 \cdot 30$

$15 - x = 2x - 60$

2. Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части уравнения, а свободные члены (числа) — в другой. Перенесём $-x$ вправо, а $-60$ влево, изменив их знаки на противоположные:

$15 + 60 = 2x + x$

3. Упростим обе части уравнения:

$75 = 3x$

4. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 3:

$x = \frac{75}{3}$

$x = 25$

Проверка:

Подставим найденное значение $x=25$ в исходное уравнение:

$15 - 25 = 2(25 - 30)$

$-10 = 2(-5)$

$-10 = -10$

Равенство верное, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: 25

4 Решите уравнение $5(2x-1)-4(3x+1)=2$.

Для решения данного линейного уравнения необходимо последовательно выполнить следующие действия:

1. Раскрыть скобки. Используем распределительный закон умножения $a(b + c) = ab + ac$, чтобы раскрыть скобки в левой части уравнения $5(2x - 1) - 4(3x + 1) = 2$.

$5 \cdot 2x + 5 \cdot (-1) - 4 \cdot 3x - 4 \cdot 1 = 2$

Выполнив умножение, получаем:

$10x - 5 - 12x - 4 = 2$

2. Привести подобные слагаемые. Сгруппируем и сложим слагаемые с переменной $x$ и числовые слагаемые (константы) в левой части уравнения.

$(10x - 12x) + (-5 - 4) = 2$

$-2x - 9 = 2$

3. Изолировать переменную. Перенесем свободный член (-9) из левой части уравнения в правую. При переносе через знак равенства знак слагаемого меняется на противоположный.

$-2x = 2 + 9$

$-2x = 11$

4. Найти значение $x$. Чтобы найти корень уравнения, разделим обе его части на коэффициент при переменной $x$, то есть на -2.

$x = \frac{11}{-2}$

$x = -5.5$

5. Проверка. Для уверенности в правильности решения подставим найденное значение $x = -5.5$ в исходное уравнение:

$5(2 \cdot (-5.5) - 1) - 4(3 \cdot (-5.5) + 1) = 2$

$5(-11 - 1) - 4(-16.5 + 1) = 2$

$5(-12) - 4(-15.5) = 2$

$-60 + 62 = 2$

$2 = 2$

Получено верное равенство, следовательно, уравнение решено правильно.

Ответ: $-5.5$

5 Каким числом является корень уравнения $ \frac{x}{5} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4} $?

1) целым положительным

2) целым отрицательным

3) дробным положительным

4) дробным отрицательным

Чтобы определить, каким числом является корень уравнения, необходимо решить само уравнение.

Исходное уравнение:

$$ \frac{x}{5} - \frac{1}{2} = \frac{x}{4} $$

Для решения этого уравнения с дробями, удобнее всего избавиться от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

Умножим каждый член уравнения на 20:

$$ 20 \cdot \frac{x}{5} - 20 \cdot \frac{1}{2} = 20 \cdot \frac{x}{4} $$

Выполним сокращение дробей:

$$ 4x - 10 = 5x $$

Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть уравнения, а числовые слагаемые — в другую. Перенесем $4x$ в правую часть, изменив знак:

$$ -10 = 5x - 4x $$

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$$ -10 = x $$

Мы нашли корень уравнения: $x = -10$.

Теперь проанализируем полученный результат. Число -10 является целым (поскольку не имеет дробной части) и отрицательным (поскольку меньше нуля).

Таким образом, корень уравнения является целым отрицательным числом, что соответствует варианту 2.

Ответ: целым отрицательным.

6 Прочитайте задачу: «В три коробки надо разложить 65 мячей так, чтобы в первой было мячей в 3 раза больше, чем во второй, а в третьей – на 5 мячей меньше, чем в первой. Сколько мячей должно быть в каждой коробке?»

Число мячей во второй коробке обозначено буквой x. Какое уравнение соответствует условию задачи?

1) $3x + x + (3x + 5) = 65$

2) $3x + x + (x - 5) = 65$

3) $(x + 3) + x + (x - 5) = 65$

4) $3x + x + (3x - 5) = 65$

Для решения задачи необходимо перевести ее условия на язык математики, то есть составить уравнение. В условии уже дано, что количество мячей во второй коробке следует обозначить за $x$.

Проанализируем условия и выразим количество мячей в каждой коробке через $x$:

• Количество мячей во второй коробке: $x$.
• В первой коробке мячей в 3 раза больше, чем во второй. Это означает, что количество мячей в первой коробке равно $3 \times x$ или просто $3x$.
• В третьей коробке на 5 мячей меньше, чем в первой. Количество мячей в первой коробке мы определили как $3x$, значит в третьей будет $(3x - 5)$ мячей.

Общее количество мячей во всех трех коробках равно 65. Чтобы составить уравнение, нужно сложить количество мячей в каждой коробке и приравнять к 65:

(Количество в 1-й коробке) + (Количество во 2-й коробке) + (Количество в 3-й коробке) = 65

$3x + x + (3x - 5) = 65$

Теперь, когда мы составили уравнение, мы можем ответить на оба вопроса задачи.

Какое уравнение соответствует условию задачи?

Сравнивая наше уравнение $3x + x + (3x - 5) = 65$ с предложенными вариантами, мы видим, что оно полностью совпадает с вариантом под номером 4.

Ответ: 4) $3x + x + (3x - 5) = 65$

Сколько мячей должно быть в каждой коробке?

Чтобы найти количество мячей, решим составленное уравнение:

$3x + x + (3x - 5) = 65$

Сначала раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с $x$:

$(3x + x + 3x) - 5 = 65$

$7x - 5 = 65$

Теперь перенесем число -5 в правую часть уравнения, изменив его знак на противоположный:

$7x = 65 + 5$

$7x = 70$

Найдем $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = 70 \div 7$

$x = 10$

Мы нашли, что $x=10$, а это количество мячей во второй коробке. Теперь можем найти количество мячей в остальных коробках:

• В первой коробке: $3x = 3 \times 10 = 30$ мячей.
• Во второй коробке: $x = 10$ мячей.
• В третьей коробке: $3x - 5 = 30 - 5 = 25$ мячей.

Для проверки сложим полученные значения: $30 + 10 + 25 = 65$. Сумма сходится с условием задачи.

Ответ: в первой коробке 30 мячей, во второй — 10 мячей, в третьей — 25 мячей.

7 Во втором баке было в 2 раза больше воды, чем в первом. Когда в первый бак долили 20 л воды, а из второго отлили 15 л воды, то воды в баках стало поровну. Сколько воды было в каждом баке первоначально?

Для решения этой задачи воспользуемся алгебраическим методом. Обозначим за неизвестную переменную первоначальное количество воды в первом баке.

Пусть в первом баке было $x$ литров воды.

По условию, во втором баке было в 2 раза больше воды, чем в первом. Значит, во втором баке было $2x$ литров воды.

Затем в первый бак долили 20 л воды, и количество воды в нем стало равным $(x + 20)$ литров.

Из второго бака отлили 15 л воды, и количество воды в нем стало равным $(2x - 15)$ литров.

После этих изменений количество воды в обоих баках стало одинаковым. На основании этого мы можем составить уравнение: $$x + 20 = 2x - 15$$

Теперь решим это уравнение. Перенесем все члены с переменной $x$ в правую часть, а числовые значения — в левую, чтобы найти значение $x$: $$20 + 15 = 2x - x$$

Выполним вычисления: $$35 = x$$

Итак, мы нашли, что первоначально в первом баке было 35 литров воды.

Теперь найдем, сколько воды было во втором баке. Для этого умножим количество воды в первом баке на 2: $$2x = 2 \cdot 35 = 70$$

Таким образом, во втором баке первоначально было 70 литров воды.

Проверим полученный результат.
После долива воды в первом баке стало: $35 + 20 = 55$ литров.
После отлива воды из второго бака в нем осталось: $70 - 15 = 55$ литров.
Количество воды в баках сравнялось ($55 = 55$), что соответствует условию задачи.

Ответ: первоначально в первом баке было 35 литров воды, а во втором баке — 70 литров.

8 За игрушку в подарочной упаковке заплатили 324 р. Стоимость упаковки составила $8\%$ от стоимости игрушки. Сколько стоит игрушка?

Пусть стоимость игрушки равна $x$ рублей.

Стоимость упаковки составляет 8% от стоимости игрушки. Чтобы найти процент от числа, нужно представить проценты в виде десятичной дроби и умножить на это число.

$8\% = \frac{8}{100} = 0.08$

Следовательно, стоимость упаковки составляет $0.08x$ рублей.

Общая стоимость покупки — это сумма стоимости игрушки и стоимости упаковки. По условию, за игрушку в подарочной упаковке заплатили 324 рубля. Можем составить уравнение:

$x + 0.08x = 324$

Теперь решим это уравнение. Объединим подобные слагаемые в левой части:

$1.08x = 324$

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на 1.08:

$x = \frac{324}{1.08}$

Для удобства вычислений умножим числитель и знаменатель на 100, чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе:

$x = \frac{324 \cdot 100}{1.08 \cdot 100} = \frac{32400}{108}$

Выполним деление:

$x = 300$

Таким образом, стоимость игрушки составляет 300 рублей.

Ответ: 300 рублей.

9 В какое уравнение нельзя преобразовать уравнение $16x = 12(x-3)$?

1) $8x = 6(x-3)$

2) $16x = 12x - 36$

3) $4x = 3x - 3$

4) $3(x-3) = 4x$

Чтобы определить, в какое уравнение нельзя преобразовать исходное, мы проанализируем каждое из предложенных уравнений, выполняя равносильные (эквивалентные) преобразования. Равносильные преобразования — это такие преобразования, которые не изменяют множество корней уравнения.

Исходное уравнение: $16x = 12(x - 3)$

1) $8x = 6(x - 3)$

Это уравнение можно получить из исходного, разделив обе его части на одно и то же ненулевое число 2. Такое преобразование является равносильным.

$\frac{16x}{2} = \frac{12(x - 3)}{2}$

$8x = 6(x - 3)$

Следовательно, в это уравнение можно преобразовать исходное.

Ответ: можно преобразовать.

2) $16x = 12x - 36$

Это уравнение можно получить, раскрыв скобки в правой части исходного уравнения с помощью распределительного закона умножения $a(b-c) = ab - ac$. Это равносильное преобразование.

$12(x - 3) = 12 \cdot x - 12 \cdot 3 = 12x - 36$

Подставив это выражение в исходное уравнение, получим: $16x = 12x - 36$.

Следовательно, в это уравнение можно преобразовать исходное.

Ответ: можно преобразовать.

3) $4x = 3x - 3$

Попробуем преобразовать исходное уравнение, разделив обе части на 4 (так как коэффициенты 16 и 12 делятся на 4).

$\frac{16x}{4} = \frac{12(x - 3)}{4}$

$4x = 3(x - 3)$

Теперь раскроем скобки в полученном уравнении:

$4x = 3x - 9$

Сравним полученное уравнение $4x = 3x - 9$ с уравнением из варианта ответа $4x = 3x - 3$. Эти уравнения не являются одинаковыми, так как их свободные члены различны ($-9 \neq -3$).

Чтобы окончательно убедиться, найдем корень исходного уравнения: $16x = 12x - 36 \implies 4x = -36 \implies x = -9$.

Теперь найдем корень уравнения из варианта 3: $4x = 3x - 3 \implies x = -3$.

Поскольку корни уравнений не совпадают ($-9 \neq -3$), они не равносильны. Следовательно, преобразовать исходное уравнение в $4x = 3x - 3$ нельзя.

Ответ: нельзя преобразовать.

4) $3(x - 3) = 4x$

Как мы показали в пункте 3, после деления исходного уравнения на 4 мы получаем равносильное уравнение:

$4x = 3(x - 3)$

Используя свойство симметричности равенства (если $a=b$, то $b=a$), мы можем поменять местами левую и правую части уравнения, что также является равносильным преобразованием.

$3(x - 3) = 4x$

Следовательно, в это уравнение можно преобразовать исходное.

Ответ: можно преобразовать.

10 Дано уравнение $ax=3$, где $a$ — некоторое число, $x$ — переменная. Найдите $a$, если известно, что корень уравнения равен $\frac{2}{3}$.

Дано уравнение $ax = 3$, где $a$ — некоторое число, а $x$ — переменная.

Корень уравнения — это значение переменной $x$, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство. По условию задачи, корень уравнения равен $x = \frac{2}{3}$.

Для того чтобы найти значение $a$, подставим известное значение $x$ в исходное уравнение:

$a \cdot \frac{2}{3} = 3$

Теперь мы получили уравнение относительно переменной $a$. Чтобы найти $a$, необходимо разделить обе части уравнения на множитель $\frac{2}{3}$:

$a = 3 \div \frac{2}{3}$

Деление на обыкновенную дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Дробь, обратная к $\frac{2}{3}$, это $\frac{3}{2}$.

$a = 3 \cdot \frac{3}{2}$

$a = \frac{9}{2}$

Представим полученную неправильную дробь в виде десятичной дроби:

$a = 4.5$

Проверка: подставим $a=4.5$ и $x=\frac{2}{3}$ в исходное уравнение: $4.5 \cdot \frac{2}{3} = \frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{18}{6} = 3$. Равенство $3=3$ верно.

Ответ: $4.5$

11 Решите уравнение $2a - b + 4x = c$ относительно $x$.

1) $x = \frac{2a - b + c}{4}$

2) $x = \frac{c - 2a + b}{4}$

3) $x = 4(c - 2a + b)$

4) $x = \frac{c - 2a - b}{4}$

Чтобы решить уравнение $2a - b + 4x = c$ относительно переменной $x$, необходимо выразить $x$ через остальные переменные $a, b$ и $c$.

1. Изолируем слагаемое с $x$.

Для этого перенесем все остальные слагаемые ($2a$ и $-b$) из левой части уравнения в правую. Важно помнить, что при переносе слагаемого через знак равенства его знак меняется на противоположный.

Исходное уравнение:

$2a - b + 4x = c$

Переносим $2a$ (становится $-2a$) и $-b$ (становится $+b$) в правую часть:

$4x = c - 2a + b$

2. Находим $x$.

Теперь, когда слагаемое с $x$ изолировано, разделим обе части уравнения на коэффициент при $x$, то есть на 4.

$\frac{4x}{4} = \frac{c - 2a + b}{4}$

В результате получаем:

$x = \frac{c - 2a + b}{4}$

3. Сравнение с вариантами.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами ответа. Наше решение $x = \frac{c - 2a + b}{4}$ полностью совпадает с вариантом ответа под номером 2.

Ответ: $x = \frac{c - 2a + b}{4}$

12 При каком значении $x$ значения выражений $8x - 15$ и $2x - 10$ противоположны?

1) при $x = -2,5$

2) при $x = 2,5$

3) при $x = \frac{5}{6}$

4) при $x = \frac{25}{9}$

По условию задачи, значения выражений $8x - 15$ и $2x - 10$ являются противоположными.

Противоположные числа — это числа, сумма которых равна нулю. На основании этого определения мы можем составить уравнение.

$(8x - 15) + (2x - 10) = 0$

Теперь решим это линейное уравнение. Сначала раскроем скобки:

$8x - 15 + 2x - 10 = 0$

Далее, приведем подобные слагаемые. Сложим члены с переменной $x$ и свободные члены (константы):

$(8x + 2x) + (-15 - 10) = 0$

$10x - 25 = 0$

Перенесем константу в правую часть уравнения, изменив её знак:

$10x = 25$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на коэффициент при переменной, то есть на 10:

$x = \frac{25}{10}$

$x = 2,5$

Для проверки подставим найденное значение $x = 2,5$ в исходные выражения:

Значение первого выражения: $8 \cdot (2,5) - 15 = 20 - 15 = 5$.

Значение второго выражения: $2 \cdot (2,5) - 10 = 5 - 10 = -5$.

Полученные значения $5$ и $-5$ являются противоположными числами, так как их сумма $5 + (-5) = 0$. Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 2) при $x = 2,5$