Номер 1, страница 125 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя (тест). Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 1, страница 125.

1 Корнями какого уравнения являются числа 2 и -1?

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$

3) $x^2 - x - 2 = 0$

4) $x^2 + x - 2 = 0$

Чтобы определить, какому из предложенных уравнений соответствуют корни 2 и -1, можно воспользоваться теоремой Виета или проверить каждый вариант методом подстановки.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения (теорема Виета):
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -p$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = q$

В нашем случае даны корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Вычислим их сумму и произведение:

Сумма: $S = x_1 + x_2 = 2 + (-1) = 1$
Произведение: $P = x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-1) = -2$

Теперь найдем коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:
Из $x_1 + x_2 = -p$ следует, что $1 = -p$, то есть $p = -1$.
Из $x_1 \cdot x_2 = q$ следует, что $q = -2$.

Подставим найденные коэффициенты в общую формулу $x^2 + px + q = 0$:
$x^2 + (-1)x + (-2) = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

Полученное уравнение соответствует варианту ответа 3). Для подтверждения можно проверить все варианты методом подстановки.

Способ 2: Проверка каждого варианта методом подстановки

1) $x^2 - 3x + 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$. Равенство верно.
Подставим $x = -1$: $(-1)^2 - 3(-1) + 2 = 1 + 3 + 2 = 6$. Равенство $6=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

2) $x^2 + 3x + 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 + 3(2) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12$. Равенство $12=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

3) $x^2 - x - 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 - 2 - 2 = 4 - 2 - 2 = 0$. Равенство верно.
Подставим $x = -1$: $(-1)^2 - (-1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$. Равенство верно.
Оба числа являются корнями данного уравнения.
Ответ: подходит.

4) $x^2 + x - 2 = 0$
Подставим $x = 2$: $2^2 + 2 - 2 = 4$. Равенство $4=0$ неверно.
Ответ: не подходит.

Таким образом, оба способа показывают, что правильным является уравнение $x^2 - x - 2 = 0$, которое представлено под номером 3.