Страница 129 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Чем различаются изображения и алгебраическая запись отрезка и интервала? открытого луча и замкнутого луча? Проиллюстрируйте свои ответы примерами.

Отрезок и интервал

Основное различие между отрезком и интервалом заключается во включении или невключении их граничных точек.

1. Алгебраическая запись:
Отрезок включает свои концы. Для его обозначения используются квадратные скобки `[]` и нестрогие неравенства ($\le$, $\ge$).
Интервал не включает свои концы. Для его обозначения используются круглые скобки `()` и строгие неравенства (<, $>$).

2. Изображение на числовой прямой:
У отрезка граничные точки обозначаются закрашенными (сплошными) точками.
У интервала граничные точки обозначаются выколотыми (пустыми) точками.

Примеры:
- Отрезок: множество чисел от -1 до 4, включая -1 и 4.
Алгебраическая запись: $x \in [-1, 4]$ или в виде двойного неравенства $-1 \le x \le 4$.
На числовой прямой это будет выглядеть как линия между точками -1 и 4, где сами точки -1 и 4 закрашены.
- Интервал: множество чисел от -1 до 4, не включая -1 и 4.
Алгебраическая запись: $x \in (-1, 4)$ или в виде двойного неравенства $-1 < x < 4$.
На числовой прямой это будет выглядеть как линия между точками -1 и 4, где сами точки -1 и 4 выколоты (пустые).

Ответ: Отрезок включает свои граничные точки, что в алгебраической записи обозначается квадратными скобками и знаками нестрогого неравенства, а на изображении — закрашенными точками. Интервал не включает свои граничные точки, что обозначается круглыми скобками, знаками строгого неравенства и выколотыми точками на изображении.

Открытый луч и замкнутый луч

Различие между открытым и замкнутым лучом заключается во включении или невключении его начальной точки.

1. Алгебраическая запись:
Замкнутый луч (или просто луч) включает свою начальную точку. При записи используется квадратная скобка `[` у начальной точки и нестрогое неравенство ($\le$ или $\ge$).
Открытый луч не включает свою начальную точку. При записи используется круглая скобка `(` у начальной точки и строгое неравенство (< или $>$).

2. Изображение на числовой прямой:
У замкнутого луча начальная точка обозначается закрашенной точкой.
У открытого луча начальная точка обозначается выколотой точкой.

Примеры:
- Замкнутый луч: множество чисел, которые больше или равны 2.
Алгебраическая запись: $x \in [2, +\infty)$ или в виде неравенства $x \ge 2$.
На числовой прямой это будет закрашенная точка в позиции 2 и линия, уходящая от нее вправо (в сторону $+\infty$).
- Открытый луч: множество чисел, которые строго больше 2.
Алгебраическая запись: $x \in (2, +\infty)$ или в виде неравенства $x > 2$.
На числовой прямой это будет выколотая точка в позиции 2 и линия, уходящая от нее вправо (в сторону $+\infty$).

Ответ: Замкнутый луч включает свою начальную точку, что в алгебраической записи обозначается квадратной скобкой и знаком нестрогого неравенства, а на изображении — закрашенной точкой. Открытый луч не включает свою начальную точку, что обозначается круглой скобкой, знаком строгого неравенства и выколотой точкой на изображении.

Для каждого изображения числового промежутка укажите соответствующее ему неравенство или двойное неравенство.

A) 1) $x \ge 2$
2) $2 < x < 5$
3) $x > 2$
4) $x < 5$
5) $2 \le x \le 5$
6) $x \le 5$

Б) 1) $x \ge 2$
2) $2 < x < 5$
3) $x > 2$
4) $x < 5$
5) $2 \le x \le 5$
6) $x \le 5$

В) 1) $x \ge 2$
2) $2 < x < 5$
3) $x > 2$
4) $x < 5$
5) $2 \le x \le 5$
6) $x \le 5$

Г) 1) $x \ge 2$
2) $2 < x < 5$
3) $x > 2$
4) $x < 5$
5) $2 \le x \le 5$
6) $x \le 5$

Для того чтобы сопоставить изображения числовых промежутков с неравенствами, необходимо проанализировать каждый случай, обращая внимание на тип точек (закрашенная или выколотая) и направление штриховки.

• Закрашенная точка означает, что граничное значение включается в промежуток (нестрогое неравенство, знаки $ \le $ или $ \ge $).
• Выколотая (пустая) точка означает, что граничное значение не включается в промежуток (строгое неравенство, знаки $ < $ или $ > $).

А)

На изображении показан числовой отрезок. Левая граница — точка 2, правая граница — точка 5. Обе точки закрашены, следовательно, они включаются в промежуток. Это означает, что $x$ больше или равен 2 и одновременно меньше или равен 5. Такое условие записывается в виде двойного нестрогого неравенства: $2 \le x \le 5$. Этому неравенству соответствует вариант 5.
Ответ: 5

Б)

На изображении показан числовой луч, начинающийся от точки 2 и идущий вправо (в сторону положительной бесконечности). Точка 2 выколота, значит, она не включается в промежуток. Это означает, что $x$ строго больше 2. Такое условие записывается в виде строгого неравенства: $x > 2$. Этому неравенству соответствует вариант 3.
Ответ: 3

В)

На изображении показан числовой луч, идущий слева (отрицательной бесконечности) и заканчивающийся в точке 5. Точка 5 закрашена, значит, она включается в промежуток. Это означает, что $x$ меньше или равен 5. Такое условие записывается в виде нестрогого неравенства: $x \le 5$. Этому неравенству соответствует вариант 6.
Ответ: 6

Г)

На изображении показан числовой интервал. Левая граница — точка 2, правая граница — точка 5. Обе точки выколоты, следовательно, они не включаются в промежуток. Это означает, что $x$ строго больше 2 и одновременно строго меньше 5. Такое условие записывается в виде двойного строгого неравенства: $2 < x < 5$. Этому неравенству соответствует вариант 2.
Ответ: 2

436 Изобразите на координатной прямой множество точек, заданное неравенством:

а) $x > 6$;

б) $x \le 6$;

в) $x \ge -2$;

г) $x < 7$.

Как называется каждое из этих множеств?

а) Для неравенства $x > 6$:

На координатной прямой отмечаем точку 6. Поскольку неравенство строгое ($>$), то сама точка 6 в множество не входит и на прямой обозначается выколотым (пустым) кружком. Все числа, которые больше 6, находятся справа от этой точки, поэтому заштриховывается область справа от 6.

Такое множество ($x > a$) называется открытым лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(6; +\infty)$.

Ответ: Множество, заданное неравенством $x > 6$, является открытым лучом. На координатной прямой оно изображается штриховкой вправо от выколотой точки 6.

б) Для неравенства $x \le 6$:

На координатной прямой отмечаем точку 6. Поскольку неравенство нестрогое ($\le$), то точка 6 входит в множество решений и на прямой обозначается закрашенным (сплошным) кружком. Все числа, которые меньше или равны 6, находятся слева от этой точки (включая саму точку), поэтому заштриховывается точка 6 и область слева от нее.

Такое множество ($x \le a$) называется лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(-\infty; 6]$.

Ответ: Множество, заданное неравенством $x \le 6$, является лучом. На координатной прямой оно изображается штриховкой влево от закрашенной точки 6.

в) Для неравенства $x \ge -2$:

На координатной прямой отмечаем точку -2. Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точка -2 принадлежит множеству и обозначается закрашенным кружком. Все числа, которые больше или равны -2, находятся справа от этой точки (включая саму точку), поэтому заштриховывается точка -2 и область справа от нее.

Такое множество ($x \ge a$) называется лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $[-2; +\infty)$.

Ответ: Множество, заданное неравенством $x \ge -2$, является лучом. На координатной прямой оно изображается штриховкой вправо от закрашенной точки -2.

г) Для неравенства $x < 7$:

На координатной прямой отмечаем точку 7. Поскольку неравенство строгое (<), точка 7 не принадлежит множеству и обозначается выколотым кружком. Все числа, которые меньше 7, находятся слева от этой точки, поэтому заштриховывается область слева от 7.

Такое множество ($x < a$) называется открытым лучом. В виде числового промежутка оно записывается как $(-\infty; 7)$.

Ответ: Множество, заданное неравенством $x < 7$, является открытым лучом. На координатной прямой оно изображается штриховкой влево от выколотой точки 7.

437 Изобразите на координатной прямой множество всех точек:

a) с отрицательными координатами; $x < 0$

б) с неотрицательными координатами. $x \ge 0$

Задайте каждое из этих множеств с помощью неравенства.

а) Точки с отрицательными координатами — это все точки на координатной прямой, которые соответствуют числам, меньшим нуля. Если обозначить координату такой точки буквой $x$, то данное условие записывается в виде строгого неравенства: $x < 0$.

На координатной прямой этому множеству соответствует открытый луч, идущий от точки 0 влево (в сторону уменьшения чисел). Точка с координатой 0 не принадлежит этому множеству, поэтому на прямой она отмечается «выколотым» (пустым) кружком.

Ответ: Множество задается неравенством $x < 0$. Изображением на координатной прямой является открытый числовой луч $(-\infty; 0)$.

б) Точки с неотрицательными координатами — это точка с координатой 0 и все точки, которые соответствуют числам, большим нуля. Иными словами, это числа, которые больше или равны нулю. Если обозначить координату такой точки буквой $x$, то данное условие записывается в виде нестрогого неравенства: $x \ge 0$.

На координатной прямой этому множеству соответствует луч, начинающийся в точке 0 и идущий вправо (в сторону увеличения чисел). Точка с координатой 0 принадлежит этому множеству, поэтому на прямой она отмечается закрашенным кружком.

Ответ: Множество задается неравенством $x \ge 0$. Изображением на координатной прямой является числовой луч $[0; +\infty)$.