Страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

485 Постройте множество точек плоскости, координаты которых связаны соотношением $y^2 = x^2$.

Чтобы построить множество точек, координаты которых удовлетворяют соотношению $y^2 = x^2$, необходимо проанализировать это уравнение.

Перенесем все члены уравнения в левую часть: $y^2 - x^2 = 0$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$: $(y - x)(y + x) = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

$y - x = 0$ или $y + x = 0$

Рассмотрим каждое уравнение отдельно:

1. $y - x = 0$ преобразуется в $y = x$. Графиком этого уравнения является прямая, проходящая через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси $Ox$. Эта прямая является биссектрисой I и III координатных четвертей. Для ее построения достаточно двух точек, например, (0, 0) и (1, 1).

2. $y + x = 0$ преобразуется в $y = -x$. Графиком этого уравнения является прямая, также проходящая через начало координат. Она является биссектрисой II и IV координатных четвертей. Для ее построения можно взять точки (0, 0) и (1, -1).

Таким образом, искомое множество точек является объединением двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. Эти прямые перпендикулярны друг другу и пересекаются в начале координат.

Ответ: Множество точек, координаты которых связаны соотношением $y^2 = x^2$, представляет собой пару пересекающихся в начале координат прямых, заданных уравнениями $y = x$ и $y = -x$.