Номер 489, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 489, страница 146.

489 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют равенству $y = x^3$, где:

а) $-1 \le x \le 1$;
б) $x \ge 0$;
в) $x \le 1$.

Для решения задачи необходимо построить график функции $y = x^3$ (кубическая парабола) с учетом заданных ограничений на переменную $x$.

а) $-1 \le x \le 1$

В этом случае требуется изобразить множество точек, удовлетворяющих уравнению $y=x^3$ при условии, что $x$ находится в замкнутом промежутке $[-1, 1]$. Мы должны построить часть графика функции $y=x^3$ на этом отрезке. Найдем значения функции на концах промежутка: при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$, что соответствует точке $(-1, -1)$; при $x = 1$, $y = 1^3 = 1$, что соответствует точке $(1, 1)$. Поскольку неравенства нестрогие ($ \le $), конечные точки $(-1, -1)$ и $(1, 1)$ принадлежат множеству и на графике отмечаются сплошными точками. График также проходит через начало координат $(0, 0)$.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (фрагмент кубической параболы), которая начинается в точке $(-1, -1)$, проходит через начало координат и заканчивается в точке $(1, 1)$.

б) $x \ge 0$

В данном случае требуется изобразить множество точек для уравнения $y=x^3$ при условии $x \ge 0$. Это значит, что мы строим график функции для всех неотрицательных значений $x$, то есть на луче $[0, +\infty)$. График начинается в точке, где $x=0$. При $x = 0$, $y = 0^3 = 0$, следовательно, начальная точка — это начало координат $(0, 0)$. Эта точка принадлежит множеству, так как неравенство нестрогое. При увеличении $x$, значение $y$ также растет (например, $(1, 1)$, $(2, 8)$), и график уходит в бесконечность в первой координатной четверти.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (правую ветвь кубической параболы), которая начинается в начале координат $(0, 0)$ и уходит в бесконечность вправо и вверх.

в) $x \le 1$

Здесь требуется изобразить множество точек для уравнения $y=x^3$ при условии $x \le 1$. Это соответствует значениям $x$ на луче $(-\infty, 1]$. График имеет конечную точку при $x=1$. В этой точке $y = 1^3 = 1$, что дает точку $(1, 1)$. Она принадлежит множеству, так как неравенство нестрогое. Для всех $x < 1$ график существует. Он проходит через начало координат $(0, 0)$, точку $(-1, -1)$ и уходит в минус бесконечность в третьей координатной четверти, когда $x \to -\infty$.

Ответ: Множество точек представляет собой кривую (левую ветвь кубической параболы и ее фрагмент до $x=1$), которая идет из минус бесконечности в третьей четверти, проходит через начало координат и заканчивается в точке $(1, 1)$.