Номер 494, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 494, страница 146.

494 Постройте график зависимости, если известно, что:

а) $y = \begin{cases} x^2 \text{ при } x \ge 0 \\ -x \text{ при } x < 0 \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x \text{ при } x \ge 0 \\ x^3 \text{ при } x < 0 \end{cases}$

в) $y = \begin{cases} 3 \text{ при } x \ge 3 \\ x \text{ при } -3 < x < 3 \\ -3 \text{ при } x \le -3 \end{cases}$

д) $y = \begin{cases} 3 \text{ при } x \ge 3 \\ |x| \text{ при } -3 < x < 3 \\ 3 \text{ при } x \le -3 \end{cases}$

г) $y = \begin{cases} 0 \text{ при } x \ge 0 \\ -x \text{ при } -2 < x < 0 \\ 2 \text{ при } x \le -2 \end{cases}$

е) $y = \begin{cases} 4 \text{ при } x \le -2 \\ x^2 \text{ при } -2 < x < 2 \\ 4 \text{ при } x \ge 2 \end{cases}$

а) Для построения графика заданной кусочно-линейной функции $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = x^2$. Это стандартная парабола, ветви которой направлены вверх, с вершиной в начале координат. Нам нужна только её правая часть (включая вершину). Построим ее по точкам:
при $x = 0$, $y = 0^2 = 0$;
при $x = 1$, $y = 1^2 = 1$;
при $x = 2$, $y = 2^2 = 4$.
Получаем ветвь параболы, выходящую из точки $(0, 0)$ и проходящую через точки $(1, 1)$ и $(2, 4)$.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, являющаяся биссектрисой II координатного угла. Построим ее по точкам:
при $x = -1$, $y = -(-1) = 1$;
при $x = -2$, $y = -(-2) = 2$.
Получаем луч, выходящий из точки $(0, 0)$ (сама точка выколота, так как $x < 0$) и проходящий через точки $(-1, 1)$ и $(-2, 2)$.

3. Совмещаем оба графика на одной координатной плоскости. Точка $(0, 0)$ является общей для обеих частей. В первой части она включена, во второй — выколота, поэтому на итоговом графике точка $(0, 0)$ является частью графика, и разрыва нет.
Ответ: График функции состоит из двух частей, соединенных в точке $(0, 0)$. Слева от оси $Oy$ (при $x < 0$) это луч $y=-x$. Справа от оси $Oy$ (при $x \ge 0$) это ветвь параболы $y=x^2$.

б) Для построения графика функции $y = \begin{cases} -x & \text{при } x \ge 0 \\ x^3 & \text{при } x < 0 \end{cases}$ рассмотрим каждую часть отдельно.

1. При $x \ge 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это прямая, биссектриса IV координатного угла. Нам нужен луч, начинающийся в точке $(0, 0)$ (точка включена) и проходящий, например, через точку $(2, -2)$.

2. При $x < 0$ функция имеет вид $y = x^3$. Это левая часть кубической параболы. Построим ее по точкам:
при $x = -1$, $y = (-1)^3 = -1$;
при $x = -2$, $y = (-2)^3 = -8$.
В точке $x=0$ предел равен $0^3=0$, поэтому ветвь стремится к точке $(0, 0)$, но сама точка выколота.

3. Совмещаем графики. Точка $(0, 0)$ включена в первую часть, поэтому разрыва в начале координат нет.
Ответ: График состоит из двух частей, соединенных в точке $(0, 0)$. При $x \ge 0$ это луч $y=-x$, лежащий в IV квадранте. При $x < 0$ это левая ветвь кубической параболы $y=x^3$, лежащая в III квадранте.

в) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ x & \text{при } -3 < x < 3 \\ -3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 3$ функция постоянна: $y = 3$. Это горизонтальный луч, выходящий из точки $(3, 3)$ и идущий вправо. Точка $(3, 3)$ включена.

2. При $-3 < x < 3$ функция имеет вид $y = x$. Это отрезок прямой (биссектрисы I и III квадрантов), соединяющий точки $(-3, -3)$ и $(3, 3)$. Обе конечные точки выколоты.

3. При $x \le -3$ функция постоянна: $y = -3$. Это горизонтальный луч, идущий влево от точки $(-3, -3)$. Точка $(-3, -3)$ включена.

4. Объединяем все три части. Выколотая точка $(3, 3)$ из средней части "заполняется" сплошной точкой из первой части. Аналогично, выколотая точка $(-3, -3)$ "заполняется" сплошной точкой из третьей части. В результате получается непрерывная линия.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из трех частей: горизонтального луча $y=-3$ при $x \le -3$, отрезка прямой $y=x$ от точки $(-3, -3)$ до $(3, 3)$, и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

г) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 0 & \text{при } x \ge 0 \\ -x & \text{при } -2 < x < 0 \\ 2 & \text{при } x \le -2 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 0$ функция постоянна: $y = 0$. Это луч, совпадающий с положительной полуосью $Ox$. Начальная точка $(0, 0)$ включена.

2. При $-2 < x < 0$ функция имеет вид $y = -x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-2, 2)$ и $(0, 0)$. Обе конечные точки выколоты.

3. При $x \le -2$ функция постоянна: $y = 2$. Это горизонтальный луч, идущий влево от точки $(-2, 2)$. Точка $(-2, 2)$ включена.

4. Объединяем части. Выколотая точка $(0, 0)$ "заполняется" точкой из первой части, а выколотая точка $(-2, 2)$ - точкой из третьей части. График является непрерывной линией.
Ответ: График - непрерывная линия, состоящая из горизонтального луча $y=2$ при $x \le -2$, отрезка прямой $y=-x$ между точками $(-2, 2)$ и $(0, 0)$, и луча $y=0$ (положительная полуось $Ox$) при $x \ge 0$.

д) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 3 & \text{при } x \ge 3 \\ |x| & \text{при } -3 < x < 3 \\ 3 & \text{при } x \le -3 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \ge 3$ и $x \le -3$ функция постоянна: $y = 3$. Это два горизонтальных луча: один начинается в точке $(3, 3)$ и идет вправо, другой заканчивается в точке $(-3, 3)$ и идет влево. Точки $(3, 3)$ и $(-3, 3)$ включены.

2. При $-3 < x < 3$ функция имеет вид $y = |x|$. График модуля — это "галочка" с вершиной в точке $(0, 0)$. Он состоит из двух отрезков: $y=-x$ на интервале $(-3, 0)$ и $y=x$ на интервале $[0, 3)$. Концевые точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ выколоты.

3. Объединяем графики. Выколотые точки $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ из средней части "заполняются" точками из крайних частей. График является непрерывной линией.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, похожую на букву W. Он состоит из горизонтального луча $y=3$ при $x \le -3$, графика модуля $y=|x|$ на интервале от -3 до 3, и горизонтального луча $y=3$ при $x \ge 3$.

е) Для построения графика функции $y = \begin{cases} 4 & \text{при } x \le -2 \\ x^2 & \text{при } -2 < x < 2 \\ 4 & \text{при } x \ge 2 \end{cases}$ рассмотрим три интервала.

1. При $x \le -2$ и $x \ge 2$ функция постоянна: $y = 4$. Это два горизонтальных луча. Один начинается в точке $(2, 4)$ и идет вправо. Другой заканчивается в точке $(-2, 4)$ и идет влево. Точки $(2, 4)$ и $(-2, 4)$ включены.

2. При $-2 < x < 2$ функция имеет вид $y = x^2$. Это часть параболы с вершиной в $(0, 0)$, ограниченная абсциссами -2 и 2. Поскольку неравенства строгие, точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ на параболе выколоты.

3. Объединяем графики. Выколотые точки $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ из средней части "заполняются" точками из крайних частей. График непрерывен.
Ответ: График представляет собой непрерывную линию, состоящую из части параболы $y=x^2$ на интервале $(-2, 2)$, которая в точках $(-2, 4)$ и $(2, 4)$ плавно переходит в горизонтальные лучи $y=4$.