Номер 493, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 5.5. Ещё несколько важных графиков. Глава 5. Координаты и графики - номер 493, страница 146.

493 Множество точек на плоскости задано условиями:

$y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1 \\ 1 & \text{при } x > 1 \end{cases}$

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Какие из точек (0; 0), $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?

Изобразите это множество точек на координатной плоскости.

Данное множество точек является графиком кусочно-заданной функции: $y = \begin{cases} x^2 & \text{при } x \le 1 \\ 1 & \text{при } x > 1 \end{cases}$.

Для построения графика его нужно рассмотреть на двух промежутках.

1. На промежутке $x \in (-\infty, 1]$ график функции совпадает с графиком параболы $y = x^2$. Это ветвь параболы с вершиной в точке $(0; 0)$, направленная вверх. Она проходит через точки, например, $(-2; 4)$, $(-1; 1)$, $(0; 0)$ и заканчивается в точке $(1; 1)$. Эта точка принадлежит графику, так как условие $x \le 1$ нестрогое.

2. На промежутке $x \in (1, +\infty)$ график функции совпадает с графиком прямой $y = 1$. Это горизонтальный луч, который начинается от точки $(1; 1)$ (не включая саму точку) и идет вправо параллельно оси абсцисс.

Объединяя эти две части, мы получаем непрерывный график. В точке $(1; 1)$ левая часть (парабола) и правая часть (луч) соединяются, образуя единую линию. Точка $(1; 1)$, принадлежащая параболе, "заполняет" начальную точку луча.

Ответ: График состоит из части параболы $y=x^2$ на интервале $(-\infty, 1]$ и горизонтального луча $y=1$ на интервале $(1, +\infty)$, которые соединяются в точке $(1; 1)$.

Какие из точек (0; 0), ($\frac{1}{2}$; $\frac{1}{4}$), (2; 4), (-2; 4), (3; 1) принадлежат этому множеству?

Для проверки принадлежности точки $(x_0, y_0)$ множеству необходимо подставить ее координаты в заданные условия.

Рассмотрим точку $(0; 0)$. Её абсцисса $x = 0$. Так как $0 \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=0$ и получаем $y = 0^2 = 0$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($0=0$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$. Её абсцисса $x = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{1}{2} \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=\frac{1}{2}$ и получаем $y = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(2; 4)$. Её абсцисса $x = 2$. Так как $2 > 1$, используем вторую формулу: $y = 1$. Согласно формуле, ордината должна быть равна 1. В данной точке ордината равна 4. Так как $4 \ne 1$, точка не принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(-2; 4)$. Её абсцисса $x = -2$. Так как $-2 \le 1$, используем первую формулу: $y = x^2$. Подставляем $x=-2$ и получаем $y = (-2)^2 = 4$. Ордината точки совпадает с вычисленной ($4=4$). Следовательно, точка принадлежит множеству.

Рассмотрим точку $(3; 1)$. Её абсцисса $x = 3$. Так как $3 > 1$, используем вторую формулу: $y = 1$. Согласно формуле, ордината должна быть равна 1. В данной точке ордината равна 1. Так как $1 = 1$, точка принадлежит множеству.

Ответ: Множеству принадлежат точки $(0; 0)$, $(\frac{1}{2}; \frac{1}{4})$, $(-2; 4)$ и $(3; 1)$.