Номер 4, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 4, страница 124.

4 Какое уравнение называется линейным? Приведите пример линейного уравнения.

Какое уравнение называется линейным?

Линейным уравнением с одной переменной называется уравнение, которое можно представить в виде $ax = b$, где $x$ — это переменная (неизвестное), а $a$ и $b$ — некоторые числа (коэффициенты). Коэффициент $a$ — это множитель при переменной, а $b$ — это свободный член. Любое уравнение, которое с помощью тождественных преобразований (например, перенос слагаемых из одной части в другую с изменением знака, приведение подобных слагаемых) приводится к такому виду, также является линейным.

Анализ уравнения $ax = b$ показывает, что оно может иметь разное количество решений в зависимости от значений коэффициентов $a$ и $b$:

1. Если $a \ne 0$, уравнение имеет единственный корень, который находится по формуле $x = \frac{b}{a}$.

2. Если $a = 0$ и $b \ne 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = b$. Это равенство неверно при любом значении $x$, поэтому уравнение не имеет корней.

3. Если $a = 0$ и $b = 0$, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это равенство верно при любом значении $x$, поэтому уравнение имеет бесконечно много корней (любое число является корнем).

Ответ: Линейным уравнением называется уравнение вида $ax = b$, где $x$ — переменная, $a$ и $b$ — некоторые числа.

Приведите пример линейного уравнения.

Рассмотрим в качестве примера следующее уравнение: $5x - 8 = 2x + 4$.

Это уравнение является линейным, так как его можно привести к стандартному виду $ax = b$. Для этого выполним последовательность преобразований.

Шаг 1: Перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а все числовые слагаемые (свободные члены) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$5x - 2x = 4 + 8$

Шаг 2: Приведем подобные слагаемые в левой и правой частях уравнения.
$(5-2)x = 12$
$3x = 12$

В результате мы получили уравнение $3x = 12$, которое имеет стандартный вид $ax=b$, где $a=3$ и $b=12$.

Шаг 3: Найдем корень уравнения, разделив обе его части на коэффициент при переменной, то есть на 3.
$x = \frac{12}{3}$
$x = 4$

Ответ: Примером линейного уравнения является $5x - 8 = 2x + 4$, его корень равен $x=4$.