Номер 1, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 1, страница 124.

1 Что называется корнем уравнения? Что значит решить уравнение?

Что называется корнем уравнения?

Корнем уравнения (или его решением) называется такое числовое значение переменной (или переменных), при подстановке которого в исходное уравнение оно превращается в верное числовое равенство.

Например, рассмотрим линейное уравнение с одной переменной $x$: $3x - 6 = 0$. Число $2$ является корнем этого уравнения, потому что если подставить $x=2$ в уравнение, мы получим: $3 \cdot 2 - 6 = 6 - 6 = 0$. Равенство $0=0$ является верным, следовательно, $x=2$ — корень уравнения.

Если мы попробуем подставить другое число, например $x=1$, то получим: $3 \cdot 1 - 6 = 3 - 6 = -3$. Равенство $-3=0$ является неверным, значит, $x=1$ не является корнем данного уравнения.

Ответ: Корнем уравнения называется значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство.

Что значит решить уравнение?

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что уравнение не имеет корней. Совокупность всех корней уравнения называется его решением.

Процесс решения может привести к одному из следующих результатов:

1. Уравнение имеет конечное число корней. Например, уравнение $x^2 = 4$ имеет два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Решить это уравнение — значит найти оба этих числа.

2. Уравнение не имеет корней. Например, уравнение $x + 5 = x$. Если вычесть $x$ из обеих частей, получится неверное числовое равенство $5 = 0$. Это означает, что уравнение не имеет решений. Говорят, что множество решений такого уравнения пустое ($\emptyset$).

3. Уравнение имеет бесконечное множество корней. Например, уравнение $2(x+1) = 2x + 2$ является верным для любого значения $x$. После раскрытия скобок мы получаем тождество $2x+2 = 2x+2$. Решением такого уравнения является любое число.

Таким образом, решение уравнения — это полная характеристика множества его корней.

Ответ: Решить уравнение означает найти все его корни или доказать, что их не существует.