Номер 434, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания. Глава 4. Уравнения - номер 434, страница 124.

434 а) Антон младше своего брата на 4 года и в 5 раз младше своей матери. А его брат в 4 раза младше отца. Сколько лет каждому из братьев, если всем четверым вместе 86 лет?

б) Ольга младше своего мужа на 8 лет. Её сын старше её дочери на 5 лет и младше Ольги в 4 раза. Сколько лет каждому, если всем четверым вместе 73 года?

а)

Для решения задачи введем переменную. Пусть возраст Антона будет $x$ лет.

Исходя из условий задачи, выразим возраст каждого члена семьи через $x$:
Антон младше своего брата на 4 года, следовательно, возраст брата равен $x + 4$ лет.
Антон в 5 раз младше своей матери, следовательно, возраст матери равен $5x$ лет.
Брат Антона в 4 раза младше отца, следовательно, возраст отца равен $4 \cdot (x + 4) = 4x + 16$ лет.

Сумма возрастов всех четверых составляет 86 лет. Составим уравнение, сложив выражения для возрастов:
$x + (x + 4) + 5x + (4x + 16) = 86$

Теперь решим это уравнение:
$x + x + 4 + 5x + 4x + 16 = 86$
Приведем подобные слагаемые:
$(x + x + 5x + 4x) + (4 + 16) = 86$
$11x + 20 = 86$
Перенесем 20 в правую часть уравнения:
$11x = 86 - 20$
$11x = 66$
Найдем $x$:
$x = 66 \div 11$
$x = 6$

Таким образом, возраст Антона — 6 лет.
Найдем возраст его брата:
$x + 4 = 6 + 4 = 10$ лет.

Для проверки: возраст матери $5 \cdot 6 = 30$ лет, возраст отца $4 \cdot 10 = 40$ лет. Сумма возрастов: $6 + 10 + 30 + 40 = 86$ лет, что соответствует условию задачи.

Ответ: Антону 6 лет, его брату 10 лет.

б)

Для решения этой задачи также введем переменную. Удобнее всего выразить все возрасты через возраст сына. Пусть возраст сына будет $y$ лет.

Исходя из условий, выразим возраст остальных членов семьи через $y$:
Сын младше Ольги в 4 раза, значит, возраст Ольги равен $4y$ лет.
Сын старше своей сестры (дочери Ольги) на 5 лет, значит, возраст дочери равен $y - 5$ лет.
Ольга младше своего мужа на 8 лет, значит, возраст мужа равен $4y + 8$ лет.

Сумма возрастов всех четверых составляет 73 года. Составим уравнение:
$4y + (4y + 8) + y + (y - 5) = 73$

Теперь решим это уравнение:
$4y + 4y + 8 + y + y - 5 = 73$
Приведем подобные слагаемые:
$(4y + 4y + y + y) + (8 - 5) = 73$
$10y + 3 = 73$
Перенесем 3 в правую часть уравнения:
$10y = 73 - 3$
$10y = 70$
Найдем $y$:
$y = 70 \div 10$
$y = 7$

Таким образом, возраст сына — 7 лет.
Теперь найдем возраст остальных членов семьи:
Возраст Ольги: $4y = 4 \cdot 7 = 28$ лет.
Возраст мужа: $4y + 8 = 28 + 8 = 36$ лет.
Возраст дочери: $y - 5 = 7 - 5 = 2$ года.

Для проверки сложим все возрасты: $28 + 36 + 7 + 2 = 73$ года, что соответствует условию задачи.

Ответ: Ольге 28 лет, её мужу 36 лет, сыну 7 лет, дочери 2 года.