Номер 2, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 2, страница 124.

2. Сформулируйте два основных правила преобразования уравнений.

Существует два основных правила, которые позволяют преобразовывать уравнения, получая новые уравнения, равносильные исходным (то есть имеющие те же самые корни). Эти преобразования являются основой для решения большинства алгебраических уравнений.

Первое правило (перенос слагаемых)

Это правило гласит, что любой член уравнения можно перенести из одной его части в другую, изменив его знак на противоположный. Это преобразование не меняет множества корней уравнения.

Формально, это правило основано на свойстве числовых равенств: если к обеим частям верного равенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число или выражение, то равенство останется верным.

Пример:
Рассмотрим уравнение $5x - 4 = 16$.
Чтобы изолировать слагаемое с переменной $x$, нам нужно перенести число $-4$ из левой части в правую. Согласно правилу, мы меняем его знак с "минус" на "плюс":
$5x = 16 + 4$
$5x = 20$
Это действие равносильно прибавлению числа 4 к обеим частям исходного уравнения:
$(5x - 4) + 4 = 16 + 4$
$5x = 20$

Ответ: Любой член уравнения можно перенести из одной части уравнения в другую, изменив его знак на противоположный.

Второе правило (умножение или деление на число)

Это правило утверждает, что обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число или выражение, отличное от нуля. В результате получится уравнение, равносильное исходному.

Крайне важно помнить, что умножать или делить можно только на ненулевое значение. Деление на ноль не определено в математике, а умножение обеих частей на ноль может привести к неверному результату (например, уравнение $x=2$ превратится в тождество $0=0$, которому удовлетворяет любое число, а не только 2), то есть к появлению посторонних корней.

Пример:
Вернемся к уравнению, полученному после применения первого правила: $5x = 20$.
Чтобы найти $x$, нам нужно избавиться от коэффициента 5. Для этого разделим обе части уравнения на 5 (так как $5 \ne 0$):
$\frac{5x}{5} = \frac{20}{5}$
$x = 4$
Рассмотрим другой пример: $\frac{x}{7} = 3$.
Здесь, чтобы найти $x$, нужно умножить обе части уравнения на 7 (так как $7 \ne 0$):
$\frac{x}{7} \cdot 7 = 3 \cdot 7$
$x = 21$

Ответ: Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число или выражение.