Номер 5, страница 124 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо знать (основные теоретические сведения). Чему вы научились. Глава 4. Уравнения - номер 5, страница 124.

5 Разъясните суть алгебраического метода решения задач на примере следующей задачи:

«Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

Алгебраический метод решения задач — это способ, при котором условия задачи, изложенные на обычном языке, переводятся на язык математики, то есть составляется математическая модель. Суть метода заключается в выполнении нескольких последовательных шагов:

1. Введение неизвестной. Одна или несколько неизвестных величин в задаче обозначаются буквами (например, $x$, $y$, $z$).

2. Составление уравнения. Используя введенные переменные, условия задачи записываются в виде одного или нескольких уравнений (или неравенств).

3. Решение уравнения. Полученное уравнение решается стандартными алгебраическими методами, чтобы найти значение неизвестной переменной.

4. Интерпретация результата. Найденное значение переменной проверяется на соответствие условиям задачи и дается ответ на ее вопрос.

Разберем этот метод на примере указанной задачи: «Ученик задумал число, умножил его на 4, из результата вычел 5 и получил удвоенное задуманное число. Какое число задумал ученик?»

Этап 1: Введение переменной
Пусть $x$ — это число, которое задумал ученик. Это наша неизвестная величина.

Этап 2: Составление математической модели (уравнения)
Переведем каждое действие из условия задачи в математические выражения:
- «умножил его на 4» соответствует выражению $4x$.
- «из результата вычел 5» соответствует выражению $4x - 5$.
- «получил удвоенное задуманное число» означает, что итоговый результат равен $2x$.
Теперь мы можем приравнять выражение, описывающее действия ученика, к итоговому результату. Так мы получим уравнение:
$4x - 5 = 2x$

Этап 3: Решение уравнения
Решим составленное уравнение относительно $x$.
Сначала перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части в другую его знак меняется на противоположный.
$4x - 2x = 5$
Упростим левую часть:
$2x = 5$
Теперь, чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2:
$x = \frac{5}{2}$
$x = 2.5$

Этап 4: Проверка и формулировка ответа
Мы нашли, что задуманное число равно 2.5. Сделаем проверку, выполнив все действия из условия задачи с этим числом:
1. Задумано число 2.5.
2. Умножаем на 4: $2.5 \cdot 4 = 10$.
3. Вычитаем 5: $10 - 5 = 5$.
Результат равен 5. По условию, он должен быть равен удвоенному задуманному числу. Удвоенное задуманное число: $2 \cdot 2.5 = 5$.
Поскольку $5 = 5$, результат совпал. Это значит, что уравнение решено верно.
Следовательно, ученик задумал число 2.5.
Ответ: 2.5.