Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

374 Решите уравнение:

а) $\frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{20} = 1;$

б) $\frac{x}{2} - \frac{x}{12} = 3 - \frac{x}{3};$

В) $\frac{x}{5} = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} - 4;$

Г) $\frac{x}{8} - \frac{x}{4} + \frac{x}{2} - x = 1;$

Д) $\frac{5x}{9} - \frac{2x}{3} - x = 4;$

е) $\frac{3x}{4} - x = \frac{4x}{5} + x.$

а) $ \frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{20} = 1 $

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей. В данном случае это 20.

$ 20 \cdot (\frac{x}{5} - \frac{x}{2} + \frac{x}{20}) = 20 \cdot 1 $

$ \frac{20x}{5} - \frac{20x}{2} + \frac{20x}{20} = 20 $

$ 4x - 10x + x = 20 $

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$ (4 - 10 + 1)x = 20 $

$ -5x = 20 $

Теперь найдем $x$:

$ x = \frac{20}{-5} $

$ x = -4 $

Ответ: -4.

б) $ \frac{x}{2} - \frac{x}{12} = 3 - \frac{x}{3} $

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения, а числа оставим в правой:

$ \frac{x}{2} - \frac{x}{12} + \frac{x}{3} = 3 $

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей (2, 12, 3). Это 12. Умножим обе части уравнения на 12:

$ 12 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{x}{12} + \frac{x}{3}) = 12 \cdot 3 $

$ \frac{12x}{2} - \frac{12x}{12} + \frac{12x}{3} = 36 $

$ 6x - x + 4x = 36 $

Приведем подобные слагаемые:

$ 9x = 36 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{36}{9} $

$ x = 4 $

Ответ: 4.

в) $ \frac{x}{5} = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} - 4 $

Перенесем все слагаемые с $x$ в одну часть, а свободные члены в другую:

$ 4 = \frac{x}{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{5} $

Наименьший общий знаменатель для 2, 3 и 5 равен 30. Умножим обе части уравнения на 30:

$ 30 \cdot 4 = 30 \cdot (\frac{x}{2} - \frac{x}{3} - \frac{x}{5}) $

$ 120 = \frac{30x}{2} - \frac{30x}{3} - \frac{30x}{5} $

$ 120 = 15x - 10x - 6x $

Приведем подобные слагаемые:

$ 120 = (15 - 10 - 6)x $

$ 120 = -x $

Найдем $x$:

$ x = -120 $

Ответ: -120.

г) $ \frac{x}{8} - \frac{x}{4} + \frac{x}{2} - x = 1 $

Найдем наименьший общий знаменатель для дробей (8, 4, 2). Это 8. Умножим обе части уравнения на 8:

$ 8 \cdot (\frac{x}{8} - \frac{x}{4} + \frac{x}{2} - x) = 8 \cdot 1 $

$ \frac{8x}{8} - \frac{8x}{4} + \frac{8x}{2} - 8x = 8 $

$ x - 2x + 4x - 8x = 8 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (1 - 2 + 4 - 8)x = 8 $

$ -5x = 8 $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{8}{5} $

$ x = -1,6 $

Ответ: -1,6.

д) $ \frac{5x}{9} - \frac{2x}{3} - x = 4 $

Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 равен 9. Умножим обе части уравнения на 9:

$ 9 \cdot (\frac{5x}{9} - \frac{2x}{3} - x) = 9 \cdot 4 $

$ \frac{9 \cdot 5x}{9} - \frac{9 \cdot 2x}{3} - 9x = 36 $

$ 5x - 3 \cdot 2x - 9x = 36 $

$ 5x - 6x - 9x = 36 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (5 - 6 - 9)x = 36 $

$ -10x = 36 $

Найдем $x$:

$ x = \frac{36}{-10} $

$ x = -3,6 $

Ответ: -3,6.

е) $ \frac{3x}{4} - x = \frac{4x}{5} + x $

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть уравнения:

$ \frac{3x}{4} - x - \frac{4x}{5} - x = 0 $

$ \frac{3x}{4} - \frac{4x}{5} - 2x = 0 $

Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 равен 20. Умножим обе части на 20:

$ 20 \cdot (\frac{3x}{4} - \frac{4x}{5} - 2x) = 20 \cdot 0 $

$ \frac{20 \cdot 3x}{4} - \frac{20 \cdot 4x}{5} - 20 \cdot 2x = 0 $

$ 5 \cdot 3x - 4 \cdot 4x - 40x = 0 $

$ 15x - 16x - 40x = 0 $

Приведем подобные слагаемые:

$ (15 - 16 - 40)x = 0 $

$ -41x = 0 $

Найдем $x$:

$ x = 0 $

Ответ: 0.

375 Уравнение $6x = 2(x + 12)$ проще решить, если разделить обе его части на 2:

$3x = x + 12$

$2x = 12$

$x = 6$

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

а) $3(x + 5) = 90$;

б) $2(x - 6) = -34$;

в) $-2(x + 12) = 6x$;

г) $6(x - 1) + 3(5 - x) = 9$;

д) $4(3x - 2) - 4(x - 2) = 2$;

е) $5(6 + x) - 5(2x + 7) = 0$.

а)

Дано уравнение $3(x + 5) = 90$.

В соответствии с предложенным способом, разделим обе части уравнения на общий множитель 3:

$\frac{3(x + 5)}{3} = \frac{90}{3}$

$x + 5 = 30$

Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак на противоположный:

$x = 30 - 5$

$x = 25$

Ответ: $25$.

б)

Дано уравнение $2(x - 6) = -34$.

Разделим обе части уравнения на 2:

$\frac{2(x - 6)}{2} = \frac{-34}{2}$

$x - 6 = -17$

Перенесем -6 в правую часть, изменив знак:

$x = -17 + 6$

$x = -11$

Ответ: $-11$.

в)

Дано уравнение $-2(x + 12) = 6x$.

Разделим обе части уравнения на 2 (можно и на -2, результат будет тот же):

$\frac{-2(x + 12)}{2} = \frac{6x}{2}$

$-(x + 12) = 3x$

Раскроем скобки в левой части:

$-x - 12 = 3x$

Перенесем слагаемое с $x$ из левой части в правую:

$-12 = 3x + x$

$-12 = 4x$

Найдем $x$, разделив обе части на 4:

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ответ: $-3$.

г)

Дано уравнение $6(x - 1) + 3(5 - x) = 9$.

Заметим, что все числовые коэффициенты (6, 3 и 9) делятся на 3. Разделим каждый член уравнения на 3:

$\frac{6(x - 1)}{3} + \frac{3(5 - x)}{3} = \frac{9}{3}$

$2(x - 1) + (5 - x) = 3$

Раскроем скобки:

$2x - 2 + 5 - x = 3$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2x - x) + (-2 + 5) = 3$

$x + 3 = 3$

Перенесем 3 в правую часть:

$x = 3 - 3$

$x = 0$

Ответ: $0$.

д)

Дано уравнение $4(3x - 2) - 4(x - 2) = 2$.

Все числовые коэффициенты (4, -4 и 2) делятся на 2. Разделим каждый член уравнения на 2:

$\frac{4(3x - 2)}{2} - \frac{4(x - 2)}{2} = \frac{2}{2}$

$2(3x - 2) - 2(x - 2) = 1$

Раскроем скобки:

$(6x - 4) - (2x - 4) = 1$

$6x - 4 - 2x + 4 = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(6x - 2x) + (-4 + 4) = 1$

$4x = 1$

Найдем $x$:

$x = \frac{1}{4}$

Ответ: $0.25$.

е)

Дано уравнение $5(6 + x) - 5(2x + 7) = 0$.

Разделим обе части уравнения на 5:

$\frac{5(6 + x)}{5} - \frac{5(2x + 7)}{5} = \frac{0}{5}$

$(6 + x) - (2x + 7) = 0$

Раскроем скобки. Обратим внимание, что перед второй скобкой стоит знак "минус", поэтому знаки внутри нее меняются на противоположные:

$6 + x - 2x - 7 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$(x - 2x) + (6 - 7) = 0$

$-x - 1 = 0$

Перенесем -1 в правую часть:

$-x = 1$

Умножим обе части на -1, чтобы найти $x$:

$x = -1$

Ответ: $-1$.

376 Уравнение $\frac{1}{3}(x + 8) = 6$ можно решить, умножив на 3 обе его части:

$3 \cdot \frac{1}{3}(x + 8) = 6 \cdot 3$

$x + 8 = 18$

$x = 10$

Решите уравнение, воспользовавшись разобранным способом:

а) $\frac{1}{5}(x + 4) = 3$;

б) $\frac{1}{4}(2y + 1) = 8$;

в) $-\frac{1}{7}(5u - 7) = 6$;

г) $\frac{2}{3}(10 - c) = -8$;

д) $2t = 1\frac{1}{3}(t + 5)$;

е) $1\frac{1}{4}(x - 2) = -5(x + 1)$.

а) Дано уравнение: $\frac{1}{5}(x+4) = 3$.
Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 5:
$5 \cdot \frac{1}{5}(x+4) = 3 \cdot 5$
$x+4 = 15$
Теперь перенесем 4 в правую часть, изменив знак:
$x = 15 - 4$
$x = 11$
Ответ: 11

б) Дано уравнение: $\frac{1}{4}(2y+1) = 8$.
Умножим обе части уравнения на 4:
$4 \cdot \frac{1}{4}(2y+1) = 8 \cdot 4$
$2y+1 = 32$
Перенесем 1 в правую часть:
$2y = 32 - 1$
$2y = 31$
Разделим обе части на 2:
$y = \frac{31}{2}$
$y = 15,5$
Ответ: 15,5

в) Дано уравнение: $-\frac{1}{7}(5u-7) = 6$.
Умножим обе части уравнения на -7:
$-7 \cdot (-\frac{1}{7}(5u-7)) = 6 \cdot (-7)$
$5u-7 = -42$
Перенесем -7 в правую часть, изменив знак:
$5u = -42 + 7$
$5u = -35$
Разделим обе части на 5:
$u = \frac{-35}{5}$
$u = -7$
Ответ: -7

г) Дано уравнение: $\frac{2}{3}(10-c) = -8$.
Умножим обе части уравнения на 3:
$3 \cdot \frac{2}{3}(10-c) = -8 \cdot 3$
$2(10-c) = -24$
Разделим обе части на 2:
$10-c = -12$
Выразим $-c$:
$-c = -12 - 10$
$-c = -22$
Умножим обе части на -1:
$c = 22$
Ответ: 22

д) Дано уравнение: $2t = 1\frac{1}{3}(t+5)$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
Уравнение примет вид: $2t = \frac{4}{3}(t+5)$.
Умножим обе части на 3:
$3 \cdot 2t = 3 \cdot \frac{4}{3}(t+5)$
$6t = 4(t+5)$
Раскроем скобки в правой части:
$6t = 4t + 20$
Перенесем $4t$ в левую часть:
$6t - 4t = 20$
$2t = 20$
Разделим обе части на 2:
$t = 10$
Ответ: 10

е) Дано уравнение: $1\frac{1}{4}(x-2) = -5(x+1)$.
Преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{5}{4}$.
Уравнение примет вид: $\frac{5}{4}(x-2) = -5(x+1)$.
Умножим обе части на 4:
$4 \cdot \frac{5}{4}(x-2) = 4 \cdot (-5(x+1))$
$5(x-2) = -20(x+1)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
$5x - 10 = -20x - 20$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$5x + 20x = -20 + 10$
$25x = -10$
Разделим обе части на 25:
$x = \frac{-10}{25}$
Сократим дробь на 5:
$x = -\frac{2}{5}$
$x = -0,4$
Ответ: -0,4

377 В древнеегипетском папирусе (1700 лет до н. э.) содержится решение уравнения, которое на языке современной математики можно записать так:

$((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$

Решите это уравнение.

Для решения данного уравнения, которое выглядит так: $((x + \frac{2}{3}x) + \frac{1}{3}(x + \frac{2}{3}x)) \cdot \frac{1}{3} = 10$, выполним следующие шаги.

1. Упрощение выражения в скобках.

Заметим, что выражение $(x + \frac{2}{3}x)$ является общим множителем для первого и второго слагаемых в самых больших скобках. Мы можем вынести его за скобку:

$((x + \frac{2}{3}x) \cdot (1 + \frac{1}{3})) \cdot \frac{1}{3} = 10$

Теперь упростим каждое выражение в скобках по отдельности.

Сначала сложим $x$ и $\frac{2}{3}x$:

$x + \frac{2}{3}x = 1x + \frac{2}{3}x = \frac{3}{3}x + \frac{2}{3}x = \frac{5}{3}x$

Затем сложим числа в другой скобке:

$1 + \frac{1}{3} = \frac{3}{3} + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$

2. Подстановка и дальнейшее упрощение.

Подставим полученные значения обратно в уравнение:

$(\frac{5}{3}x \cdot \frac{4}{3}) \cdot \frac{1}{3} = 10$

Теперь перемножим все дроби в левой части уравнения:

$\frac{5 \cdot 4 \cdot 1}{3 \cdot 3 \cdot 3}x = 10$

$\frac{20}{27}x = 10$

3. Нахождение $x$.

Чтобы найти $x$, нужно разделить обе части уравнения на коэффициент $\frac{20}{27}$. Это то же самое, что умножить на обратную дробь $\frac{27}{20}$:

$x = 10 \cdot \frac{27}{20}$

$x = \frac{10 \cdot 27}{20} = \frac{270}{20}$

Сократим дробь:

$x = \frac{27}{2} = 13,5$

Ответ: $13,5$.

378 Запишите вместо c такое число, чтобы корнем получившегося уравнения было целое число:

а) $ \frac{1}{8}x=c; $

б) $ 0,1x=c; $

в) $ cx=15; $

г) $ cx=\frac{1}{3}. $

а) В уравнении $\frac{1}{8}x=c$ выразим $x$ через $c$: $x = 8c$. Чтобы корень $x$ был целым числом, произведение $8c$ должно быть целым. Это будет верно, если $c$ — любое целое число. Например, выберем $c=2$. Тогда уравнение примет вид $\frac{1}{8}x=2$, а его корень $x = 16$, что является целым числом.
Ответ: $c=2$ (можно выбрать любое целое число).

б) В уравнении $0,1x=c$ выразим $x$ через $c$: $x = \frac{c}{0,1}$ или $x = 10c$. Чтобы корень $x$ был целым числом, произведение $10c$ должно быть целым. Самый простой способ этого добиться — выбрать для $c$ любое целое число. Например, выберем $c=-3$. Тогда уравнение примет вид $0,1x=-3$, а его корень $x = -30$, что является целым числом.
Ответ: $c=-3$ (можно выбрать любое целое число).

в) В уравнении $cx=15$ выразим $x$ через $c$ (при условии $c \neq 0$): $x = \frac{15}{c}$. Чтобы корень $x$ был целым числом, $c$ должно быть делителем числа 15. Множество целых делителей числа 15: $\{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15\}$. Выберем любое из них, например, $c=5$. Тогда уравнение примет вид $5x=15$, а его корень $x = 3$, что является целым числом.
Ответ: $c=5$ (можно выбрать любой другой делитель числа 15).

г) В уравнении $cx=\frac{1}{3}$ выразим $x$ через $c$ (при условии $c \neq 0$): $x = \frac{1}{3c}$. Чтобы корень $x$ был целым числом (например, $x=k$, где $k$ — целое, не равное нулю), должно выполняться равенство $k=\frac{1}{3c}$. Отсюда $c = \frac{1}{3k}$. Выберем желаемый целый корень, например, $x=1$ (то есть $k=1$). Тогда $c = \frac{1}{3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$. При $c=\frac{1}{3}$ уравнение примет вид $\frac{1}{3}x=\frac{1}{3}$, его корень $x=1$, что является целым числом.
Ответ: $c=\frac{1}{3}$ (можно выбрать любое число вида $\frac{1}{3k}$, где $k$ — ненулевое целое число).