Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

350 Какие из чисел 1, 2, 0, -1, -2 являются корнями уравнения:

a) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$;

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$;

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$;

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнений, необходимо подставить каждое число вместо переменной $x$ в каждое уравнение и проверить, обращается ли равенство в верное числовое тождество $0=0$.

а) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 6 = 1 + 6 + 5 - 6 = 6$. Так как $6 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 6(2)^2 + 5(2) - 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 10 - 6 = 8 + 24 + 10 - 6 = 36$. Так как $36 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 6(0)^2 + 5(0) - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 5(-1) - 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 5 - 6 = -1 + 6 - 5 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 6(-2)^2 + 5(-2) - 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 10 - 6 = -8 + 24 - 10 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: -2.

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 - (1)^2 - 6(1) = 1 - 1 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 - (2)^2 - 6(2) = 8 - 4 - 12 = -8$. Так как $-8 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 - (0)^2 - 6(0) = 0 - 0 - 0 = 0$. Равенство верное, значит, число 0 является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 - (-1)^2 - 6(-1) = -1 - 1 + 6 = 4$. Так как $4 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 - (-2)^2 - 6(-2) = -8 - 4 + 12 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: 0, -2.

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 6(1)^2 + 11(1) + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24$. Так как $24 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 6(2)^2 + 11(2) + 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 22 + 6 = 8 + 24 + 22 + 6 = 60$. Так как $60 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 6(0)^2 + 11(0) + 6 = 0 + 0 + 0 + 6 = 6$. Так как $6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 11 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -1 является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 6(-2)^2 + 11(-2) + 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 22 + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: -1, -2.

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 4(1)^2 + (1) - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число 1 является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 4(2)^2 + (2) - 6 = 8 + 4 \cdot 4 + 2 - 6 = 8 + 16 + 2 - 6 = 20$. Так как $20 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 4(0)^2 + (0) - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) - 6 = -1 + 4 \cdot 1 - 1 - 6 = -1 + 4 - 1 - 6 = -4$. Так как $-4 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 6 = -8 + 4 \cdot 4 - 2 - 6 = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: 1, -2.

351 РАССУЖДАЕМ Решите уравнение:

а) $x^2 = 9;$

б) $x^2 = 0;$

в) $\left|x\right| = 5;$

г) $\left|x\right| = 0.$

а) Чтобы решить уравнение $x^2 = 9$, необходимо найти числа, квадрат которых равен 9. Для этого извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что квадратный корень из положительного числа имеет два значения: положительное и отрицательное. Таким образом, $x = \pm\sqrt{9}$. Поскольку $\sqrt{9} = 3$, получаем два корня: $x_1 = 3$ и $x_2 = -3$.
Ответ: -3; 3.

б) Уравнение $x^2 = 0$ решается аналогично. Нужно найти число, которое при возведении в квадрат дает 0. Таким числом является только нуль. Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, получаем $x = \pm\sqrt{0}$, что равносильно $x = 0$. Уравнение имеет один корень.
Ответ: 0.

в) Уравнение $|x| = 5$ содержит модуль (абсолютную величину). Модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Следовательно, нам нужно найти числа, которые находятся на расстоянии 5 единиц от нуля. Таких чисел два: это 5 и -5. Таким образом, $x = 5$ или $x = -5$.
Ответ: -5; 5.

г) В уравнении $|x| = 0$ мы ищем число, расстояние которого от нуля равно нулю. Единственное число, удовлетворяющее этому условию, — это сам нуль. Следовательно, уравнение имеет один корень $x = 0$.
Ответ: 0.

352 Докажите, что:

а) корнем уравнения $3x - 6 = 3(x - 2)$ является любое число;

б) уравнение $3y - 5 = 1 + 3y$ не имеет корней.

а) Чтобы доказать, что корнем уравнения $3x - 6 = 3(x - 2)$ является любое число, необходимо его упростить. Для этого раскроем скобки в правой части уравнения, применив распределительный закон умножения:
$3x - 6 = 3 \cdot x - 3 \cdot 2$
$3x - 6 = 3x - 6$
Как видно, левая и правая части уравнения полностью идентичны. Такое равенство называется тождеством, и оно верно при любом значении переменной $x$.
Если мы продолжим решение, перенеся все члены с переменной в левую часть, а свободные члены — в правую, то получим:
$3x - 3x = 6 - 6$
$0 \cdot x = 0$
$0 = 0$
Полученное верное числовое равенство подтверждает, что исходное уравнение имеет бесконечно много решений, то есть его корнем является любое число.
Ответ: так как уравнение преобразуется в верное тождество $0=0$, его корнем является любое число.

б) Чтобы доказать, что уравнение $3y - 5 = 1 + 3y$ не имеет корней, необходимо попытаться его решить. Сгруппируем члены с переменной $y$ в левой части уравнения, а свободные члены (числа) — в правой. При переносе слагаемых из одной части в другую их знаки меняются на противоположные:
$3y - 3y = 1 + 5$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:
$0 \cdot y = 6$
$0 = 6$
В результате преобразований переменная $y$ сократилась, и мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что не существует такого значения $y$, при котором исходное равенство могло бы стать верным.
Ответ: так как уравнение преобразуется в неверное равенство $0=6$, оно не имеет корней.

353 Объясните, почему уравнение не имеет корней:

а) $x^2 = -1$;

б) $|x| = -5$;

в) $x^6 + 1 = 0$;

г) $|x| + 10 = 0$.

а) $x^2 = -1$

Квадрат любого действительного числа (положительного, отрицательного или нуля) всегда является неотрицательным числом. Это означает, что для любого действительного числа $x$, выражение $x^2$ будет больше или равно нулю: $x^2 \ge 0$. В данном уравнении левая часть, $x^2$, должна быть равна правой части, $-1$. Так как неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу, данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

б) $|x| = -5$

Модуль (или абсолютная величина) числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Расстояние не может быть отрицательным. Следовательно, модуль любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. В данном уравнении левая часть, $|x|$, должна быть равна $-5$. Поскольку неотрицательная величина не может быть равна отрицательному числу, это уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как модуль любого числа не может быть отрицательным.

в) $x^6 + 1 = 0$

Выражение $x^6$ представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Любое действительное число, возведенное в четную степень, является неотрицательным, то есть $x^6 \ge 0$ для любого $x$. Если к этому неотрицательному значению прибавить 1, то сумма всегда будет положительной и, более того, не меньше 1. То есть, $x^6 + 1 \ge 0 + 1$, что означает $x^6 + 1 \ge 1$. Уравнение утверждает, что это выражение равно 0. Так как значение левой части уравнения никогда не может быть равным нулю (оно всегда больше или равно 1), то уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного числа ($x^6$) и положительного числа (1) всегда положительна и не может равняться нулю.

г) $|x| + 10 = 0$

По определению, модуль числа $|x|$ является неотрицательной величиной, то есть $|x| \ge 0$ для любого $x$. Если к этому неотрицательному значению прибавить положительное число 10, то сумма всегда будет положительной и не меньше 10. То есть, $|x| + 10 \ge 0 + 10$, что означает $|x| + 10 \ge 10$. Уравнение утверждает, что левая часть равна 0. Так как значение выражения $|x| + 10$ всегда больше или равно 10, оно никогда не может быть равно нулю. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: уравнение не имеет корней, так как сумма неотрицательного числа ($|x|$) и положительного числа (10) всегда положительна и не может равняться нулю.

354 Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является. Укажите ещё несколько корней этого уравнения. Что представляет собой множество корней уравнения $|x|=x$?

Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является.
Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной $x$ и проверить, получится ли верное равенство.
1. Подставим число 10 в уравнение $|x| = x$:
$|10| = 10$
По определению модуля, $|10| = 10$. Получаем верное равенство:
$10 = 10$
Следовательно, число 10 является корнем уравнения.
2. Подставим число -10 в уравнение $|x| = x$:
$|-10| = -10$
По определению модуля, $|-10| = 10$. Получаем неверное равенство:
$10 = -10$
Следовательно, число -10 не является корнем уравнения.
Ответ: Проверка подтверждает, что 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а -10 его корнем не является.

Укажите ещё несколько корней этого уравнения.
Как мы выяснили, корнями уравнения $|x| = x$ являются числа, модуль которых равен самому числу. Это свойство выполняется для любого неотрицательного числа (положительного или нуля).
Примеры других корней:
- Число 0: $|0| = 0$ (верно).
- Число 7: $|7| = 7$ (верно).
- Дробное число 1.5: $|1.5| = 1.5$ (верно).
Ответ: Например, 0, 1, 7, 1.5, 100.

Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?
Для нахождения множества всех корней решим уравнение $|x| = x$ аналитически, используя определение модуля.
Определение модуля: $ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае по определению $|x| = x$. Наше уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x \ge 0$. Таким образом, все неотрицательные числа являются решениями.
2. Пусть $x < 0$. В этом случае по определению $|x| = -x$. Наше уравнение принимает вид $-x = x$. Прибавим $x$ к обеим частям: $0 = 2x$, откуда $x=0$. Однако, найденное значение $x=0$ не удовлетворяет исходному условию этого случая ($x < 0$). Значит, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что решениями уравнения являются все числа $x$, для которых $x \ge 0$.
Ответ: Множество корней уравнения $|x| = x$ — это множество всех неотрицательных чисел. В виде числового промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.

355 Укажите множество корней уравнения $|x| = -x$.

Для решения уравнения $|x| = -x$ необходимо рассмотреть два случая, которые следуют из определения модуля (абсолютной величины).

По определению, модуль числа $x$ раскрывается следующим образом:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).
В этом случае, по определению, $|x| = x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$x = -x$
Чтобы решить это уравнение, перенесём все члены в одну сторону:
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Полученное значение $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является корнем уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда $x < 0$ (x — отрицательное число).
В этом случае, по определению, $|x| = -x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$-x = -x$
Мы получили тождество, то есть верное равенство для любого значения $x$. Это означает, что все числа $x$, удовлетворяющие условию этого случая ($x < 0$), являются корнями уравнения.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях (корень $x=0$ из первого случая и все отрицательные числа $x < 0$ из второго), мы приходим к выводу, что множество корней уравнения — это все числа, которые меньше или равны нулю. Это множество всех неположительных действительных чисел.

Ответ: Множество корней уравнения — это числовой луч $(-\infty, 0]$.