Номер 354, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 354, страница 109.

354 Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является. Укажите ещё несколько корней этого уравнения. Что представляет собой множество корней уравнения $|x|=x$?

Проверьте, что число 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а число -10 его корнем не является.
Чтобы проверить, является ли число корнем уравнения, нужно подставить это число в уравнение вместо переменной $x$ и проверить, получится ли верное равенство.
1. Подставим число 10 в уравнение $|x| = x$:
$|10| = 10$
По определению модуля, $|10| = 10$. Получаем верное равенство:
$10 = 10$
Следовательно, число 10 является корнем уравнения.
2. Подставим число -10 в уравнение $|x| = x$:
$|-10| = -10$
По определению модуля, $|-10| = 10$. Получаем неверное равенство:
$10 = -10$
Следовательно, число -10 не является корнем уравнения.
Ответ: Проверка подтверждает, что 10 является корнем уравнения $|x| = x$, а -10 его корнем не является.

Укажите ещё несколько корней этого уравнения.
Как мы выяснили, корнями уравнения $|x| = x$ являются числа, модуль которых равен самому числу. Это свойство выполняется для любого неотрицательного числа (положительного или нуля).
Примеры других корней:
- Число 0: $|0| = 0$ (верно).
- Число 7: $|7| = 7$ (верно).
- Дробное число 1.5: $|1.5| = 1.5$ (верно).
Ответ: Например, 0, 1, 7, 1.5, 100.

Что представляет собой множество корней уравнения $|x| = x$?
Для нахождения множества всех корней решим уравнение $|x| = x$ аналитически, используя определение модуля.
Определение модуля: $ |x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases} $
Рассмотрим два случая:
1. Пусть $x \ge 0$. В этом случае по определению $|x| = x$. Наше уравнение принимает вид $x = x$. Это тождество, верное для любого значения $x$, удовлетворяющего условию $x \ge 0$. Таким образом, все неотрицательные числа являются решениями.
2. Пусть $x < 0$. В этом случае по определению $|x| = -x$. Наше уравнение принимает вид $-x = x$. Прибавим $x$ к обеим частям: $0 = 2x$, откуда $x=0$. Однако, найденное значение $x=0$ не удовлетворяет исходному условию этого случая ($x < 0$). Значит, в этом случае решений нет.
Объединяя результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что решениями уравнения являются все числа $x$, для которых $x \ge 0$.
Ответ: Множество корней уравнения $|x| = x$ — это множество всех неотрицательных чисел. В виде числового промежутка это записывается как $[0; +\infty)$.