Номер 355, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 355, страница 109.

355 Укажите множество корней уравнения $|x| = -x$.

Для решения уравнения $|x| = -x$ необходимо рассмотреть два случая, которые следуют из определения модуля (абсолютной величины).

По определению, модуль числа $x$ раскрывается следующим образом:
$|x| = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

1. Рассмотрим случай, когда $x \ge 0$ (x — неотрицательное число).
В этом случае, по определению, $|x| = x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$x = -x$
Чтобы решить это уравнение, перенесём все члены в одну сторону:
$x + x = 0$
$2x = 0$
$x = 0$
Полученное значение $x = 0$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является корнем уравнения.

2. Рассмотрим случай, когда $x < 0$ (x — отрицательное число).
В этом случае, по определению, $|x| = -x$. Подставим это выражение в исходное уравнение:
$-x = -x$
Мы получили тождество, то есть верное равенство для любого значения $x$. Это означает, что все числа $x$, удовлетворяющие условию этого случая ($x < 0$), являются корнями уравнения.

Объединив результаты, полученные в обоих случаях (корень $x=0$ из первого случая и все отрицательные числа $x < 0$ из второго), мы приходим к выводу, что множество корней уравнения — это все числа, которые меньше или равны нулю. Это множество всех неположительных действительных чисел.

Ответ: Множество корней уравнения — это числовой луч $(-\infty, 0]$.