Номер 350, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Упражнения. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 350, страница 109.

350 Какие из чисел 1, 2, 0, -1, -2 являются корнями уравнения:

a) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$;

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$;

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$;

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$?

Чтобы определить, какие из предложенных чисел являются корнями уравнений, необходимо подставить каждое число вместо переменной $x$ в каждое уравнение и проверить, обращается ли равенство в верное числовое тождество $0=0$.

а) $x^3 + 6x^2 + 5x - 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 6(1)^2 + 5(1) - 6 = 1 + 6 + 5 - 6 = 6$. Так как $6 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 6(2)^2 + 5(2) - 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 10 - 6 = 8 + 24 + 10 - 6 = 36$. Так как $36 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 6(0)^2 + 5(0) - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 5(-1) - 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 5 - 6 = -1 + 6 - 5 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 6(-2)^2 + 5(-2) - 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 10 - 6 = -8 + 24 - 10 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: -2.

б) $x^3 - x^2 - 6x = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 - (1)^2 - 6(1) = 1 - 1 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 - (2)^2 - 6(2) = 8 - 4 - 12 = -8$. Так как $-8 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 - (0)^2 - 6(0) = 0 - 0 - 0 = 0$. Равенство верное, значит, число 0 является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 - (-1)^2 - 6(-1) = -1 - 1 + 6 = 4$. Так как $4 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 - (-2)^2 - 6(-2) = -8 - 4 + 12 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: 0, -2.

в) $x^3 + 6x^2 + 11x + 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 6(1)^2 + 11(1) + 6 = 1 + 6 + 11 + 6 = 24$. Так как $24 \neq 0$, число 1 не является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 6(2)^2 + 11(2) + 6 = 8 + 6 \cdot 4 + 22 + 6 = 8 + 24 + 22 + 6 = 60$. Так как $60 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 6(0)^2 + 11(0) + 6 = 0 + 0 + 0 + 6 = 6$. Так как $6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 \cdot 1 - 11 + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -1 является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 6(-2)^2 + 11(-2) + 6 = -8 + 6 \cdot 4 - 22 + 6 = -8 + 24 - 22 + 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: -1, -2.

г) $x^3 + 4x^2 + x - 6 = 0$

Проверим каждое число из набора $\{1, 2, 0, -1, -2\}$:

• При $x=1$: $(1)^3 + 4(1)^2 + (1) - 6 = 1 + 4 + 1 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число 1 является корнем.
• При $x=2$: $(2)^3 + 4(2)^2 + (2) - 6 = 8 + 4 \cdot 4 + 2 - 6 = 8 + 16 + 2 - 6 = 20$. Так как $20 \neq 0$, число 2 не является корнем.
• При $x=0$: $(0)^3 + 4(0)^2 + (0) - 6 = 0 + 0 + 0 - 6 = -6$. Так как $-6 \neq 0$, число 0 не является корнем.
• При $x=-1$: $(-1)^3 + 4(-1)^2 + (-1) - 6 = -1 + 4 \cdot 1 - 1 - 6 = -1 + 4 - 1 - 6 = -4$. Так как $-4 \neq 0$, число -1 не является корнем.
• При $x=-2$: $(-2)^3 + 4(-2)^2 + (-2) - 6 = -8 + 4 \cdot 4 - 2 - 6 = -8 + 16 - 2 - 6 = 0$. Равенство верное, значит, число -2 является корнем.

Ответ: 1, -2.