Номер 2, страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Дорофеев, Суворова

Вопросы. 4.2. Корни уравнения. Глава 4. Уравнения - номер 2, страница 108.

Прочитайте два предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение». Объясните, почему они означают одно и то же.

Поскольку в тексте вопроса не приведены сами предложения, разъясняющие смысл слов «решить уравнение», будем исходить из двух стандартных определений, которые обычно приводятся в учебниках алгебры:

1. Решить уравнение — значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

2. Решить уравнение — это значит найти множество его корней.

Эти два определения означают одно и то же, и чтобы это доказать, нужно понять, как соотносятся понятия «корень» и «множество корней».

Корень уравнения — это такое значение переменной (например, $x$), при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Множество корней — это совокупность (или коллекция) всех корней данного уравнения.

Теперь сопоставим оба определения.

Первое определение явно разделяет процесс решения на два возможных исхода:

- «найти все его корни»: это случай, когда у уравнения есть одно или несколько решений. Например, у уравнения $x^2 = 25$ есть два корня: $5$ и $-5$.

- «доказать, что корней нет»: это случай, когда не существует ни одного числа, которое бы удовлетворяло уравнению. Например, уравнение $x^2 = -4$ не имеет действительных корней.

Второе определение использует более общее и строгое математическое понятие «множество». Ключевой особенностью множества является то, что оно может содержать в себе элементы, а может быть и пустым, то есть не содержать ни одного элемента.

Связь между определениями становится очевидной, если рассмотреть, как понятие «множество корней» описывает оба этих исхода:

- Если у уравнения есть корни, то «найти множество его корней» означает найти множество, состоящее из этих чисел. Для уравнения $x^2 = 25$ множество корней — это $\{-5, 5\}$. Это полностью соответствует части «найти все его корни».

- Если у уравнения корней нет, то его множество корней не содержит ни одного элемента. Такое множество называется пустым множеством и обозначается символом $ \emptyset $. Таким образом, «найти множество его корней» в этом случае означает установить, что оно пусто. Это полностью соответствует части «доказать, что корней нет».

Следовательно, второе определение является более лаконичным и универсальным, так как оно одним понятием «множество корней» охватывает все возможные ситуации, которые в первом определении перечислены отдельно.

Ответ: Эти предложения означают одно и то же, потому что второе определение («найти множество его корней») является математическим обобщением первого. Понятие «множество» включает в себя как набор, состоящий из одного или нескольких корней (что соответствует части «найти все его корни»), так и «пустое множество» $ \emptyset $, которое соответствует части «доказать, что корней нет».